Изменения

|id = th1.|statement= Оценка ряда Пусть есть ряд состоящий из значений функций: <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> , притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с помощью какой скоростью?|proof=Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает.Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math>Аналогично оценим ряд снизу. Теперь рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно убывает.Оценим ряд снизу: <math> {\int \limits_{1}^{n} f(x) dx + f(n) \leq f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) } </math>.Аналогично оценим ряд сверху: <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) \leq f(1) + \int \limits_{2}^{n} f(x) dx </math>.Таким образом <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + O(1) </math>, где <math> O(1) = c + o(1) </math>.В итоге <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + c + o(1) </math>.