Вычисление порядка элемента в группе — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 5 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
{{Требует доработки
+
== Постановка задачи ==
−
|item1=Тут надо написать про алгоритм, который использует теорему Лагранжа. И работает за время <tex>O(\mathrm{FactorTime} \cdot \log |G|)</tex>.
+
Пусть <tex>G</tex> — [[группа]], <tex>a \in G</tex>. Требуется найти [[порядок элемента]] <tex>a</tex>.
−
}}
+
 
 +
== Решение ==
 +
По следствию из [[теорема Лагранжа|теоремы Лагранжа]] порядок элемента является делителем [[порядок группы|порядка группы]].
 +
Таким образом достаточно рассмотреть <tex>a^n</tex>, где <tex>n \in X</tex>, <tex>X</tex> — делители порядка группы.
 +
 
 +
=== Алгоритм ===
 +
# Найти все делители <tex>|G|</tex> перебором от 1 до <tex>\sqrt{|G|}</tex>
 +
# Для каждого делителя <tex>n</tex> проверить значение <tex>a^n</tex>. Наименьший <tex>n</tex>, такой что <tex>a^n = e</tex>, является порядком элемента <tex>a</tex> в группе.
 +
 
 +
=== Алгоритмическая сложность ===
 +
Перебор от <tex>1</tex> до <tex>\sqrt{|G|}</tex> выполняется за <tex>O(\sqrt{|G|})</tex>. Возведение <tex>a</tex> в степень <tex>n</tex> выполняется за <tex>O(\log n)</tex>. Следовательно время выполнения <tex>O(\sqrt{|G|} \cdot \log{|G|})</tex>.
 +
 
 +
[[Категория:Теория групп]]

Текущая версия на 11:44, 1 сентября 2022

Постановка задачи

Пусть [math]G[/math] — группа, [math]a \in G[/math]. Требуется найти порядок элемента [math]a[/math].

Решение

По следствию из теоремы Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Таким образом достаточно рассмотреть [math]a^n[/math], где [math]n \in X[/math], [math]X[/math] — делители порядка группы.

Алгоритм

  1. Найти все делители [math]|G|[/math] перебором от 1 до [math]\sqrt{|G|}[/math]
  2. Для каждого делителя [math]n[/math] проверить значение [math]a^n[/math]. Наименьший [math]n[/math], такой что [math]a^n = e[/math], является порядком элемента [math]a[/math] в группе.

Алгоритмическая сложность

Перебор от [math]1[/math] до [math]\sqrt{|G|}[/math] выполняется за [math]O(\sqrt{|G|})[/math]. Возведение [math]a[/math] в степень [math]n[/math] выполняется за [math]O(\log n)[/math]. Следовательно время выполнения [math]O(\sqrt{|G|} \cdot \log{|G|})[/math].

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Вычисление_порядка_элемента_в_группе&oldid=84318»