Изменения

'''Алгоритм КаркайненаКарккайнена-Сандерса ''' (KarkkainenKärkkäinen, Sanders) — алгоритм построения [[суффиксный массив | суффиксного массива]] за линейное время. __TOC__ == Используемые обозначения ==* В данном конспекте используется 0-индексация.* <tex>S[i..j] </tex> — подстрока строки <tex> S </tex> с <tex>i</tex>-го по <tex>j</tex>-й символы включительно.* Пусть длина строки <tex> S </tex> равна <tex> n </tex>. Обозначим <tex> S^*[i..j] </tex>, где <tex> j \geqslant n </tex> как строку <tex> S[i..n-1] </tex>, дополненную защитными символами <tex> \$ </tex> до длины <tex> n </tex>. == Алгоритм «разделяй и властвуй» ==

== Базовая идея ==Алгоритм базируется на алгоритме Фараха<ref>M. Farach. Optimal suffix tree construction with large alphabets. http://www.cs.rutgers.edu/~farach/pubs/FarFerrMuthu00.pdf </ref> построения суффиксного дерева за линейное время:# Строим суффиксное дерево суффиксный массив для четных нечетных суффиксов , рекурсивно сведя задачу к построению суффиксного дерева массива для строки половинной длины.# Строим суффиксное дерево суффиксный массив для нечетных четных суффиксов за линейное время, используя результат для четных позицийпервого шага.# Сливаем суффиксные деревья массивы за линейное время. Получили асимптотическое уравнение <tex> T(n) = T\left( \dfrac{n}{2}\right) + O(n) </tex>, решением которого является <tex> T(n) = O(n) </tex>. Для упрощения алгоритма вначале дополним нашу строку до четной длины (например, добавлением <tex>\$</tex> в конец). На шаге слияния мы сможем избавиться от него.

Получили асимптотическое уравнение =====База рекурсии=====Если длина текущей строки <tex> T(n) = T(\frac{n}{2}) + O(n) S </tex>равна двум, решением которого является <tex> T(n) = O(n) </tex>надо выполнить обычное сравнение суффиксов.

== Алгоритм «разделяй и властвуй» == Для упрощения алгоритма вначале дополним нашу строку до четной длины (например, добавлением $ в конец). На шаге сливания мы сможем избавиться от него.=Суффиксный массив для нечетных суффиксов== Шаг 1 ===На первом шаге мы строим суффиксный массив <tex> A_{S_o} </tex> для нечетных суффиксов строки <tex> S </tex>.

# Отобразим исходную строку <tex> S ^* </tex> длины <tex> n </tex> в строку <tex> S' </tex> длины <tex> \fracdfrac{n}{2} </tex> следующим образом:#* Сделаем список, состоящий из пар символов вида <tex> S^*[i..i + 1] </tex>, где <tex> i \mod bmod 2 == 1 </tex>, причем обозначим <tex> S[n-1..n] </tex> как <tex> S[n-1]\$</tex>.

#* Перекодируем строку <tex> S ^*[1..n] </tex> в алфавит <tex> \Sigma' </tex>, получив строку <tex> S' </tex> половинной длины.

=== Шаг 2 ==Суффиксный массив для четных суффиксов=====

Заметим, что сортировка множества четных суффиксов <tex> \{ S^*[i..n] | \mid i \mod bmod 2 == 0 \} </tex> аналогична сортировке множества пар <tex> \{ (S^*[i], S^*[i+1..n]) | \mid i \mod bmod 2 == 0 \} </tex>. Однако <tex> S^*[i+1..n] </tex> — нечетный суффикс, и его относительную позицию мы уже узнали на шаге 1.

Таким образом, чтобы отсортировать эти пары за линейное время, сначала сразу выпишем их в порядке возрастания второго элемента пары (то есть в порядке вхождения в массив <tex> A_{S_o} </tex>), а потом отсортируем устойчивой сортировкой подсчетом по первым элементам. Псевдокод После этого шагалегко можно восстановить массив <tex> A_{S_e} </tex>:

'''for ''' i = 0..'''to''' n/2 - 1:

 Заметим, что массив <tex> M </tex> явно не отсортирован по вторым элементам и хранит не суффиксы, а их позиции в строке <tex> S </tex>, но главное — что он отсортирован по возрастанию соответствующих этим позициям нечетным суффиксам. После устойчивой сортировки массива <tex> M </tex> подсчетом по первому элементу легко восстановить массив <tex> A_{S_e} </tex>: stable_sortquick_stable_sort(M)

'''for ''' i = 0..'''to''' n/2 - 1:

=== Шаг 3 ==Слияние суффиксных массивов=====Для суффиксного дерева третий шаг алгоритма опирается на специфические особенности суффиксных деревьев, которые не присущи суффиксным массивам<ref>M. Farach. Optimal suffix tree construction with large alphabets. http://www.cs.rutgers.edu/~farach/pubs/FarFerrMuthu00.pdf </ref> . В случае [[Суффиксный массив|суффиксного массива ]] слияние становится очень сложным , но все же оно было реализовано в алгоритме Ким-Сим-Парк-Парка<ref> D. K. Kim, J. S. Sim, H. Park, and K. Park. Linear-time construction of suffix arrays. http://www.springerlink.com/content/568156021q45r320/</ref>. Однако простой модификацией алгоритма можно значительно упростить его.

Покажем первые два шага агоритма для строки '''bbaaababababbbaa'''. Во-первых, добавив защитный символ '''$''', получив строку '''ababbbaa$''' (для этого алгоритма он не требуется, но может понадобиться в применениях суффиксного массива). Во-вторых, дополним ее до четной длины, получив '''ababbbaa$$'''.

Во-первых=====Суффиксный массив для нечетных суффиксов=====# В новом алфавите <tex> \Sigma' </tex> будет четыре элемента — '''ba''', '''bb''', добавим защитный символ '''a$''', получив строку '''bbaaabab$$'''. Во-вторыхПосле сортировки они получат номера 2, дополним ее до четной длины3, получив 1 и 0 соответственно.# Переводим строку <tex>S^*[1..n]</tex> = '''bbaaababbabbbaa$$$'''в новый алфавит. Сжатой строкой <tex> S' </tex> будет '''23210'''.# После рекурсивного вызова получим, что <tex> A_{S'} </tex> = [4, 3, 2, 0, 1], и <tex> A_{S_o} </tex> = [9, 7, 5, 1, 3].

==== Шаг 1 =Суффиксный массив для четных суффиксов=====# В новом алфавите Обойдя массив <tex> A_{S_o} </tex>, получим <tex> M </tex> = [(<tex> \Sigma' $</tex>, 9), (<tex>a</tex> будет четыре элемента — '''ba''', '''aa'''7), '''(<tex>b$'''</tex>, 5), '''$$'''. После сортировки они получат номера 3(<tex>a</tex>, 1), 2 и 0 соответственно.# Сжатой строкой (<tex> S' a</tex> будет '''31320''', 3)].# После рекурсивного вызова сортировки подсчетом по первому элементу, получим, что <tex> A_{S'} M </tex> = [4(<tex>\$</tex>, 9), (<tex>a</tex>, 7), (<tex>a</tex>, 1), (<tex>a</tex>, 3), 0(<tex>b</tex>, 25)], и .# Восстановив массив <tex> A_{S_e} </tex> = , получаем [98, 36, 70, 12, 54], что действительно является суффиксным массивом для четных суффиксов.

==== Шаг 2 =Слияние суффиксных массивов=====# Обойдя массив Если бы мы умели сливать <tex> A_{S_o} </tex>, получим M = [('''$''', 9), ('''a''', 3), ('''a''', 7), ('''b''', 1), ('''a''', 5)].# После сортировки подсчетом по первому элементу, получим M = [('''$''', 9), ('''a''', 3), ('''a''', 7), ('''a''', 5), ('''b''', 1)].# Восстановив массив и <tex> A_{S_e} </tex>за линейное время, получаем [8, 2, 6, 4, 0], что действительно является суффиксным массивом для четных суффиксов.получили бы:

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| №!style="background-color:#EEE"| Подстрока|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 9 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> \$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 8 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> \$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 7 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> a\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 6 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> aa\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 0 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> ababbbaa\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 2 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> abbbaa\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 5 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> baa\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 1 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> babbbaa\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 4 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> bbaa\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 3 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> bbbaa\$\$ </tex>|} Как и было сказано вначале, избавиться от лишних '''$''' легко, так как суффиксы, им соответствующие, будут первыми в суффиксном массиве (в данном случае достаточно выбросить "9" из суффиксного массива). == Алгоритм КаркайненаКарккайнена-Сандерса ==

# Построим суффиксный массив для суффиксов, соответствующих позициям, не кратным трем позициям. Рекурсивно сведем это к построению суффиксного массива для строки длиной в две трети исходной.# Построим суффиксный массив для суффиксов, соответствующих кратных кратным трем позициям, используя результат первого шага , за линейное время.# Сливаем Сольем эти суффиксные массивы в один за линейное время.

Получили асимптотическое уравнение <tex> T(n) = T\left(\frac23 dfrac23 n\right) + O(n) </tex>, решением которого также является <tex> T(n) = O(n) </tex> (это видно из того, что сумма геометрической прогрессии с основанием <tex> \frac23 dfrac23 </tex> равна <tex> 3n 3 </tex>).

Аналогично первой версии алгоритма, дополним строку <tex> S </tex> до длины, кратной трем, защитными символами <tex> \$ </tex> и получим <tex>S^*</tex>.

=== Шаг * '''База рекурсии'''Для этого алгоритма минимальной базой рекурсии будет строка длиной 4, так как она дополняется до длины 6, после чего вновь следует рекурсивный вызов строки длиной 4, и, если бы база была меньше 4, алгоритм вошел бы в бесконечную рекурсию. На этом этапе также можно применить обычную сортировку суффиксов, так как это потребует <tex> O(1 ===) </tex> действий. * '''Суффиксный массив для позиций не кратных 3'''На этом шаге строится суффиксный массив <tex> A_{S_{12}} </tex> для множества суффиксов <tex> \{ S^*[i..n-1] | \mid i \mod bmod 3 \ne 0 \} </tex>.

#* Сделаем список, состоящий из троек <tex> S^*[i..i+2]; i \mod 3 \ne 0 </tex>, причем примем где <tex> S[n-2..n] = S[n-2..n-1]i \$ </tex>, а <tex> S[n-1..n+1] = S[n-1]bmod 3 \$\$ ne 0 </tex>.

#* Перекодируем строку <tex> S ^*[1..n]S^*[2..n+1] </tex> в строку <tex> S' </tex> длиной <tex> \frac23 dfrac23 n </tex> в алфавите <tex> \Sigma' </tex> следущим образом: <tex> S' = [ \Sigma'(s[i..i+2]) | i \mod 3 == 1 ] + [ \Sigma'(s[i..i+2]) | i \mod 3 == 2 ] </tex>. Суффиксу Тогда суффиксу <tex> S^*[i..n-1] </tex> в старом алфавите, где <tex> i \mod bmod 3 == 1 </tex>, в новом алфавите будет соответствовать строка <tex> S'\left[\fracdfrac{i-1}{3}..\fracdfrac{n}{3} - 1\right] </tex>, а если <tex> i \mod bmod 3 == 2 </tex>, то строка <tex> S'\left[\fracdfrac{n}{3} + \fracdfrac{i-2}{3}..\fracdfrac{2n}{3} - 1\right] </tex>.

# Пройдем по массиву <tex> A_{S'} </tex>. Если <tex> A_{S'}[i] < \fracdfrac{n}{3} </tex>, то этот суффикс соответствует позиции <tex> j = 3A_{S'}[i] + 1 </tex> в строке <tex> S </tex>, если же <tex> A_{S'}[i] \ge geqslant \fracdfrac{n}{3} </tex>, то этот суффикс соответствует позиции <tex> j = 3\left(A_{S'}[i] - \fracdfrac{n}{3}\right) + 2 </tex> в строке <tex> S ^* </tex>. Псевдокод получения <tex> A_{S_{12}} </tex>:

'''for ''' i = 0..'''to''' <tex>A_{S'}</tex>.length - 1: '''if ''' <tex>A_{S'}</tex>[i] < n / 3:

'''else''': <tex>A_{S_{12}}</tex>.add(3 * (<tex>A_{S'}</tex>[i] - n / 3) + 2)

=== Шаг 2 ===* '''Суффиксный массив для позиций кратных 3'''Этот шаг также аналогичен первой версии алгоритма. Сортировка множества <tex> \{ S^*[i..n-1] | \mid i \mod bmod 3 == 0 \} </tex> аналогична сортировке пар <tex> \{ (S^*[i], S^*[i+1..n-1]) | \mid i \mod bmod 3 == 0 \} </tex>, где <tex> S^*[i+1..n-1] </tex> — суффиксы в позициях, равных 1 по модулю 3, относительный порядок которых уже известен. Выпишем эти пары в порядке вхождения их в <tex> A_{S_{12}} </tex> и отсортируем по первому элементу устойчивой сортировкой подсчетом, получив суффиксный массив <tex> A_{S_0} </tex>. Псевдокод этого шага:

'''for ''' i = 0..'''to''' 2n/3 - 1: '''if ''' <tex> A_{S_{12}}</tex>[i] % 3 == 1: M.add(Pair(S*[<tex>A_{S_{12}}</tex>[i] - 1], <tex>A_{S_{12}}</tex>[i]))

'''for ''' i = 0..'''to''' n/3 - 1:

Применим стандартный алгоритм слияния двух отсортированных массивов. Заметим, что явно массивы не отсортированы, но сотвествующие соответствующие элементам массива суффиксы — отсортированы.

Пусть на какой-то итерации слияния мы сравниваем суффиксы, соответствующие позициям <tex> i </tex>, равной 1 по модулю 3, и <tex> j </tex> (она всегда будет равна 0 по модулю 3). Это аналогично сравнению пар <tex> (S^*[i], S^*[i+1..n-1]) </tex> и <tex> (S^*[j], S^*[j+1..n-1]) </tex>. Сравнить первые элементы пар мы можем за <tex> O(1) </tex>, а относительный порядок вторых элементов пар нам уже известен, так как они соотвествуют соответствуют позициям, равным 2 и 1 по модулю 3 соответственно.

Аналогично, пусть на какой-то итерации слияния мы сравниваем суффиксы, соответствующие позициям <tex> i </tex>, равной 2 по модулю 3, и <tex> j </tex> (она всегда будет равна 0 по модулю 3). Тогда это аналогично сравнению троек <tex> (S^*[i], S^*[i+1], S^*[i+2..n-1]) </tex> и <tex> (S^*[j], S^*[j+1], S^*[j+2..n-1]) </tex>, что аналогично также можно делать за <tex> O(1) </tex>.

<font color=green>// Вначале предподсчитаем за O(n) обратные перестановки обратную перестановку для суффиксных массивовсуффиксного массива <tex> A_{S_{12}}</tex>, то есть массивы Order такиемассив rank такой, что A<tex> A_{S_{12}}</tex>[Orderrank[i]] = i. // Тогда мы сможем за O(1) сравнивать суффиксы по их позиции.</font> Order12 rank = inverse(<tex>A_{S_{12}}</tex>) Order0 = inverse(<tex>A_{S_0}</tex>) '''while ''' i < 2 * n / 3 '''and ''' j < n / 3:

'''if ''' pos12 % 3 == 1: ''' if ''' Pair(S*[pos12], Order12rank[pos12 + 1]) < Pair(S*[pos0], Order0rank[pos0 + 1]):

'''else''':

'''else''': '''if ''' Triple(S*[pos12], S*[pos12 + 1], Order12rank[pos12 + 2]) < Triple(S*[pos0], S*[pos0 + 1], Order0rank[pos0 + 2]):

'''else''':

'''while ''' i < 2 * n / 3:

'''while ''' j < n / 3: <tex>A_{S}</tex>.add(<tex> A_{S_{0}} </tex>[j]) i j++ Таким образом, получили простой метод слияния за <tex> O(n) </tex>. === Пример ===Построим суффиксный массив для строки '''abbacab'''. После добавления защитного символа и дополнения до кратной трем длины, получим '''abbacab$$'''.* '''Суффиксный массив для позиций не кратных 3'''# Тройками, соответствующими равными 1 по модулю 3 позициям, будут: '''bba''', '''cab''', '''$$$''', соответствующими равным 2 по модулю 3 — '''bac''', '''ab$''', '''$$$'''. Новый алфавит <tex> \Sigma' </tex> будет содержать элементы '''bba''', '''cab''', '''$$$''', '''bac''', '''ab$''', которые после сортировки получат номера 3, 4, 0, 2, 1 соответственно.# Строкой '''bbacab$$$bacab$$$$''' в новом алфавите <tex> \Sigma' </tex> будет <tex> S' </tex> = 340210. # После рекурсивного вызова получим <tex> A_{S'} </tex> = [5, 2, 4, 3, 0, 1]. Пересчитав <tex> A_{S_{12}} </tex>, получим [(5 - 3)*3 + 2, 2 * 3 + 1, (4 - 3) * 3 + 2, (3 - 3) * 3 + 2, 0 * 3 +1, 1 * 3 +1] = [8, 7, 5, 2, 1, 4]. * '''Суффиксный массив для позиций кратных 3'''# Обойдя массив <tex> A_{S_{12}} </tex> и выбрав в нем элементы, равные 1 по модулю 3, получим массив пар <tex>M</tex> = [(<tex>b</tex>, 7), (<tex>a</tex>, 1), (<tex>a</tex>, 4)]# После устойчивой сортировки подсчетом по первому элементу, получим <tex> M </tex> = [('''a''', 1), ('''a''', 4), ('''b''', 7)]# Восстановив <tex> A_{S_0} </tex>, получаем [0, 3, 6].* '''Слияние суффиксных массивов'''Рассмотрим, к примеру, третью итерацию слияния, к этой итерации массив <tex> A_{S} </tex> = [8, 7], <tex> i </tex> = 2, <tex> j </tex> = 0, на ней мы сливаем суффиксы, соответствующие позициям 5 и 0. # Образуем тройки <tex>(S^*[5], S^*[6], S^*[7..8])</tex> и <tex>(S^*[0], S^*[1], S^*[2..8])</tex>.# После получения относительного порядка суффиксов, получим тройки ('''a''', '''b''', 1) и ('''a''', '''b''', 3). Первая тройка меньше второй, поэтому добавляем суффикс, соответствующий позиции 5 в массив <tex> A_{S} </tex>.# В конце итерации получаем <tex> A_{S} </tex> = [8, 7, 5], <tex> i </tex> = 3, <tex> j </tex> = 0.К концу слияния получим <tex> A_{S} </tex> = [8, 7, 5, 0, 3, 6, 2, 1, 4]. Так как мы добавляли один символ <tex>\$</tex> в начале алгоритма для дополнения строки до длины, кратной трем, выбросим последний суффикс из <tex> A_{S} </tex>, получим в итоге, что <tex> A_{S} </tex> = [7, 5, 0, 3, 6, 2, 1, 4]. {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| №!style="background-color:#EEE"| Подстрока|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 8 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> \$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 7 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> \$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 5 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> ab\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 0 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> abbacab\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 3 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> acab\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 6 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> b\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 2 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> bacab\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 1 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> bbacab\$\$ </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> 4 </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex> cab\$\$ </tex>|}Заметим, что № 9 будет выброшен, так как в начале алгоритма был добавлен один <tex> \$ </tex> к строке {|| [[Файл:Kark_sanders_stage1.png|325px|thumb| Фаза 1]]| [[Файл:Kark_sanders_stage2.png|325px|thumb| Фаза 2]]| [[Файл:Kark_sanders_stage3.png|325px|thumb| Фаза 3]]|} == Обобщение алгоритма ==Массив LCP можно получить за линейное время [[Алгоритм_Касаи_и_др. | алгоритмом Касаи]]. На самом деле, алгоритм можно обобщить<ref name="generalisation"> Juha Kärkkäinen, Peter Sanders and Stefan Burkhardt. Linear work suffix array construction. http://www.cs.helsinki.fi/juha.karkkainen/publications/jacm05-revised.pdf </ref>, взяв на первом шаге, к примеру, суффиксы, позиции которых по модулю 7 дают 3, 5 и 6. Для этого потребуются некоторое усложнение алгоритма, например, сортировка оставшихся суффиксов в нескольких группах на шаге 2 и слияние нескольких групп на шаге 3, но основная идея алгоритма остается той же. Множества, которые можно выбрать, на первом шаге определяются '''разностным покрытием''' (''difference cover'').{{Определение|definition='''Разностное покрытие''' (англ. ''difference cover'') <tex> D </tex> по модулю <tex>m </tex> — множество чисел от <tex>0</tex> до <tex>m - 1 </tex> таких, что <tex> \forall i \in [0, m-1]: \exists j, k \in D: i \equiv k - j \pmod m </tex>.}} Например, <tex> \{1, 2\} </tex> является разностным покрытием по модулю <tex> 3 </tex>, <tex> \{3, 5, 6\} </tex> является разностным покрытием по модулю <tex> 7 </tex>, а <tex> \{1\} </tex> — не является разностным покрытием по модулю <tex> 2 </tex>, поэтому этот алгоритм не применим к нему. Подробнее узнать, как вычислять разностное покрытие для заданного модуля можно также здесь<ref name="generalisation"/>. == См. также ==* [[Суффиксный массив]]

Таким образом, получили простой метод сливания за <tex> O(n) == Примечания ==<references/tex>.

== Ссылки Источники информации==<references * [[Суффиксный массив]]* [http://www.cs.helsinki.fi/juha.karkkainen/publications/>icalp03.pdf Juha Kärkkäinen and Peter Sanders. Simple linear work suffix array construction]