Ковариантность и контравариантность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Теорема |statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>;<br> <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}...»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 4 участников)
Строка 19: Строка 19:
 
|about = 1
 
|about = 1
 
|statement =  
 
|statement =  
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex> (3) <br>
+
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ (3)</tex> <br>
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k</tex> (4) <br>
+
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ (4)</tex> <br>
 
здесь <tex>g_{ki}</tex> и <tex>g^{ik}</tex> - [[метрический тензор]]
 
здесь <tex>g_{ki}</tex> и <tex>g^{ik}</tex> - [[метрический тензор]]
 
|proof =  
 
|proof =  
 +
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex> <br>
 +
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k  =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i</tex> <br>
 
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex>
 
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex>
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k  =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i</tex>  
+
<br>
 +
аналогично <tex>(4)</tex>
 +
}}
 +
 
 +
Далее {{---}} <tex>E</tex> над <tex>R</tex>
 +
 
 +
<tex> g_{ik} = g_{ki} \Rightarrow \xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k  \ ( \tilde{3})</tex>
 +
 
 +
<tex> g^{ik} = g^{ki} \Rightarrow \xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k  \ ( \tilde{4})</tex>
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>\{ \xi^1 \cdots \xi^n\}</tex> {{---}} координаты вектора <tex>x</tex> в базисе <tex> \{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называются '''КОНТРвариантными'''. <br>
 +
<tex>\{ \xi_1 \cdots \xi_n\}</tex> {{---}} координаты вектора <tex>x</tex> в базисе <tex> \{e^i\}_{i=1}^{n}</tex> называются '''КОвариантными'''.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Операция ковариантных координат на контрвариантные в соответствии с <tex>(\tilde{3})</tex> называется операцией поднятия индекса координаты.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Операция контрвариантных координат на ковариантные в соответствии с <tex>(\tilde{4})</tex> называется операцией опускания индекса координаты.
 +
}}
 +
 
 +
Рассмотрим <tex>g^{ik} \xi_e </tex> {{---}} свертка к <tex>\xi^{i}</tex>  (валентность {{---}} <tex>(2,1)</tex>)
 +
 
 +
Рассмотрим <tex>\omega^{ik}_l = \omega^{ik.}_{..l}</tex>
 +
 
 +
Тогда: 1) <tex>\omega^{.k.}_{i.l} = g_is \omega^{sk.}_{..l}</tex>
 +
 
 +
2) <tex>\omega^{ikl}_{...} = g^{lt} \omega^{ik.}_{..t}</tex>
 +
 
 +
NB: Если <tex>g_{ik} = g^{ik} = \delta^i_k</tex> и <tex>G = G^{-1} = E \Rightarrow</tex>
 +
 
 +
1) <tex> \langle x;y  \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \xi^i \eta^i </tex>
 +
 
 +
2) <tex> \xi^i = \xi_i ; \  e^i = e_i</tex>
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
пусть <tex> x = \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^k e_k </tex> <br>
 +
<tex>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> и <tex>\{f_i\}_{i=1}^{n}</tex> - сопряженные базисы <br>
 +
<tex>g_{ik}</tex> - [[метрический тензор]] <br>
 +
тогда <tex>Gx = \sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_{ki} f^i</tex>, где <tex>Gx,f^i \in E^{*}</tex>
 +
 
 +
|proof=
 +
<tex dpi = "160">Gx = G(\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k e_k) =
 +
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k Ge_k =^{(2)}
 +
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k G(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{ki}e^{i}) =
 +
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k(\sum\limits_{i=1}^{n} g_{ki}Ge^i) =
 +
\sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_ki f^i</tex>
 
}}
 
}}

Текущая версия на 19:03, 4 сентября 2022

Теорема:
[math]e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)[/math];
[math]e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)[/math], где [math]\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]{\{e^i\}}_{i=1}^n[/math] - базис [math]E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}[/math](разложение единственно)

Тогда [math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}[/math] (т.к. [math]\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j[/math])

[math]\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}[/math], т.е [math]g_{kj}=\alpha_{kj}[/math]

Переход от [math](2)[/math] к [math](1)[/math] производится путём умножения на обратную матрицу:

[math]G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}[/math] - и приходим к равенству [math](1)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Ковариантные и Контрвариантные векторы в E

пусть [math]x =! \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i[/math] и [math]x =! \sum\limits_{k=1}^n \xi_k e^k[/math]

Лемма (1):
[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ (3)[/math]

[math]\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ (4)[/math]

здесь [math]g_{ki}[/math] и [math]g^{ik}[/math] - метрический тензор
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k[/math]
[math]\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i[/math]
[math]\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k[/math]

аналогично [math](4)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Далее — [math]E[/math] над [math]R[/math]

[math] g_{ik} = g_{ki} \Rightarrow \xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ ( \tilde{3})[/math]

[math] g^{ik} = g^{ki} \Rightarrow \xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ ( \tilde{4})[/math]


Определение:
[math]\{ \xi^1 \cdots \xi^n\}[/math] — координаты вектора [math]x[/math] в базисе [math] \{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называются КОНТРвариантными.
[math]\{ \xi_1 \cdots \xi_n\}[/math] — координаты вектора [math]x[/math] в базисе [math] \{e^i\}_{i=1}^{n}[/math] называются КОвариантными.


Определение:
Операция ковариантных координат на контрвариантные в соответствии с [math](\tilde{3})[/math] называется операцией поднятия индекса координаты.


Определение:
Операция контрвариантных координат на ковариантные в соответствии с [math](\tilde{4})[/math] называется операцией опускания индекса координаты.


Рассмотрим [math]g^{ik} \xi_e [/math] — свертка к [math]\xi^{i}[/math] (валентность — [math](2,1)[/math])

Рассмотрим [math]\omega^{ik}_l = \omega^{ik.}_{..l}[/math]

Тогда: 1) [math]\omega^{.k.}_{i.l} = g_is \omega^{sk.}_{..l}[/math]

2) [math]\omega^{ikl}_{...} = g^{lt} \omega^{ik.}_{..t}[/math]

NB: Если [math]g_{ik} = g^{ik} = \delta^i_k[/math] и [math]G = G^{-1} = E \Rightarrow[/math]

1) [math] \langle x;y \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \xi^i \eta^i [/math]

2) [math] \xi^i = \xi_i ; \ e^i = e_i[/math]

Теорема:
пусть [math] x = \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^k e_k [/math]

[math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] и [math]\{f_i\}_{i=1}^{n}[/math] - сопряженные базисы
[math]g_{ik}[/math] - метрический тензор

тогда [math]Gx = \sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_{ki} f^i[/math], где [math]Gx,f^i \in E^{*}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]Gx = G(\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k e_k) = \sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k Ge_k =^{(2)} \sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k G(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{ki}e^{i}) = \sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k(\sum\limits_{i=1}^{n} g_{ki}Ge^i) = \sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_ki f^i[/math]
[math]\triangleleft[/math]