Изменения

Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

 '''=== Структура'''===Пусть <mathtex>\mathbb{A}_n</math> = <math>\{a_1,a_2,\dots,a_n\}</mathtex> - — группа из <tex>n </tex> элементов.

'''=== Свойства'''==={{Утверждение|statement=Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы.|proof=Пусть <tex>a,b,c,d \in G</tex>. Тогда <tex>ab=d</tex> и <tex>ac=d \Rightarrow b=c</tex>. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз. }}{{Утверждение|statement=Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна.|proof=Таблица симметрична <tex>\Rightarrow ab = ba</tex> для любых <tex>a,b \in G</tex>}}{{Утверждение|statement=В конечной группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.|proof=Рассмотрим элемент <tex>x\in G</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — в противном случае при <tex>x^k=x^m (m<k<n)\Rightarrow x^{k—m}=e</tex>, т.е. <tex>n>k—m</tex> не является порядком элемента <tex>x</tex>). Легко проверить, что <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>. По [[Теорема Лагранжа|теореме Лагранжа]] порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, и <tex>n</tex> делит порядок <tex>G</tex>.}}{{Утверждение|statement=Все группы простого порядка <tex>p</tex> изоморфны <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>.|proof=Рассмотрим элемент <tex>x\in G,\,x\neq e</tex> c порядком <tex>n</tex> и подмножество <tex>\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace</tex> (все <tex>x^k</tex> различны при <tex>k<n</tex> — см. выше). Очевидно, <tex>\langle x\rangle</tex> — подгруппа <tex>G</tex>, изоморфная <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Но тогда <tex>n</tex> делит <tex>p</tex>(как порядок подгруппы) и не равняется единице(<tex>x^1\neq e</tex>), значит <tex>n=p</tex>. Раз порядок конечной подгруппы <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G</tex> совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G</tex>.}}

1) Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов === Примеры таблиц умножения для конечных групп ===Ниже перечислены все группыдо шестого порядка включительно:

2) Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна  '''Построение''' Вследствие первого свойства, можно заполнить таблицу не имея всей информации об операции умножения. Если таблицу заполнить не удаётся(нарушается первое свойство - в ряде или колонке оказывается 2 одинаковых элемента), значит операции, удовлетворяющей данным соотношениям, не существует.  ''Алгоритм построения'': 1) заполнить "скелет" таблицы - ячейки в которых стоит нейтральный элемент. "Скелет" симметричен относительно главной диагонали(если a - обратный к b, то b - обратный к a, то есть любой элемент коммутирует со своим обратным). 2) используя известные соотношения и свойство 1 заполнить таблицу. ''Замечание'': по соглашению в заголовках таблицы * <tex>|G| = 1-ым идёт нейтральный элемент, затем элементы, которые совпадают с обратным, затем остальные.  '''Примеры'''</tex>1) n = 1Тривиальная группа

* <tex>|G| = 2) n = </tex>Группа вычетов по модулю два относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</tex>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e0</big>| <big>e0</big> || <big>a1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a1</big>| <big>a1</big> || <big>e0</big>

* <tex>|G| = 3) n = </tex>Группа вычетов по модулю три относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</tex>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big> !style="background:#efefef;"| <big>b2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e0</big>| <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>b2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a1</big>| <big>a1</big> || <big>b2</big> || <big>e0</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b2</big>| <big>b2</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big>

* <tex>|G| = 4) n = </tex>Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</tex>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big> !style="background:#efefef;"| <big>b2</big> !style="background:#efefef;"| <big>c3</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e0</big>| <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>b2</big> || <big>c3</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a1</big>| <big>a1</big> || <big>e0</big> || <big>c3</big> || <big>b2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b2</big>| <big>b2</big> || <big>c3</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>c3</big>| <big>c3</big> || <big>b2</big> || <big>a1</big> || <big>e0</big>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e(0,0)</big> !style="background:#efefef;"| <big>a(0,1)</big> !style="background:#efefef;"| <big>b(1,0)</big> !style="background:#efefef;"| <big>c(1,1)</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e(0,0)</big>| <big>e(0,0)</big> || <big>a(0,1)</big> || <big>b(1,0)</big> || <big>c(1,1)</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a(0,1)</big>| <big>a(0,1)</big> || <big>b(0,0)</big> || <big>c(1,1)</big> || <big>e(1,0)</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b(1,0)</big>| <big>b(1,0)</big> || <big>c(1,1)</big> || <big>e(0,0)</big> || <big>a(0,1)</big>

!style="background:#efefef;"| <big>c(1,1)</big>| <big>c(1,1)</big> || <big>e(1,0)</big> || <big>a(0,1)</big> || <big>b(0,0)</big>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big> !style="background:#efefef;"| <big>b2</big> !style="background:#efefef;"| <big>c3</big> !style="background:#efefef;"| <big>4</big> |-!style="background:#efefef;"| <big>0</big>| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e1</big>| <big>e1</big> || <big>a2</big> || <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>0</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a2</big>| <big>a2</big> || <big>e3</big> || <big>c4</big> || <big>b0</big> || <big>1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b3</big>| <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>a0</big> || <big>e1</big> || <big>2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>c4</big>| <big>c4</big> || <big>b0</big> || <big>e1</big> || <big>a2</big> || <big>3</big>

5) n * <tex>|G| = 56</tex>Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</tex>

!style="background:#efefef;"| *+!style="background:#efefef;"| <big>e0</big> !style="background:#efefef;"| <big>a1</big> !style="background:#efefef;"| <big>b2</big> !style="background:#efefef;"| <big>c3</big> !style="background:#efefef;"| <big>d4</big>!style="background:#efefef;"| <big>5</big>|-!style="background:#efefef;"| <big>0</big>| <big>0</big> || <big>1</big> || <big>2</big> || <big>3</big> || <big>4</big> || <big>5</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e1</big>| <big>e1</big> || <big>a2</big> || <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>d5</big> || <big>0</big>

!style="background:#efefef;"| <big>a2</big>| <big>a2</big> || <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>d5</big> || <big>e0</big> || <big>1</big>

!style="background:#efefef;"| <big>b3</big>| <big>b3</big> || <big>c4</big> || <big>d5</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>2</big>

!style="background:#efefef;"| <big>c4</big>| <big>c4</big> || <big>d5</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>b2</big> || <big>3</big>

!style="background:#efefef;"| <big>d5</big>| <big>d5</big> || <big>e0</big> || <big>a1</big> || <big>b2</big> || <big>c3</big> || <big>4</big>

!style="background:#efefef;"| <big>e</big> !style="background:#efefef;"| <big>a</big> !style="background:#efefef;"| <big>baa</big> !style="background:#efefef;"| <big>cb</big> !style="background:#efefef;"| <big>dc</big> !style="background:#efefef;"| <big>fd</big>

| <big>e</big> || <big>a</big> || <big>baa</big> || <big>cb</big> || <big>dc</big> || <big>fd</big>

| <big>a</big> || <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>c</big> || <big>d</big> || <big>fb</big> |-!style="background:#efefef;"| <big>aa</big>| <big>aa</big> || <big>e</big> || <big>a</big> || <big>d</big> || <big>b</big> || <big>c</big>

| <big>b</big> || <big>fd</big> || <big>ec</big> || <big>de</big> || <big>caa</big> || <big>a</big>

| <big>c</big> || <big>db</big> || <big>fd</big> || <big>ea</big> || <big>ae</big> || <big>baa</big>

| <big>d</big> || <big>c</big> || <big>a</big> || <big>b</big> || <big>f</big> || <big>e</big>|-!style="background:#efefef;"| <big>f</big>| <big>f</big> || <big>b</big> || <big>caa</big> || <big>a</big> || <big>e</big> || <big>d</big>