1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
==Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел== {{В разработкеТеорема|id=th1|statement=Простых чисел бесконечно много.|proof=Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.}} ==Теорема о расходимости ряда <tex>\sum_{}^{}1/n</tex>==
{{Теорема|id=th2|statement=Теорема о существовании бесконечного числа простых чиселРяд <tex>\sum_{}^{}1/n</tex> расходится.|proof=<tex>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} =\prod_{p} {(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>, где <tex>p</tex> — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.}}Заметим для некоторого <tex>k</tex>: <tex>\sum_{p \le k}^{}{(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \frac{1}{n}</tex>.Теперь, пользуясь выражением <tex> \ln(1+x) \approx x + o(x) </tex> и логарифмируя, выводим:<tex> \sum_{p} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \le \frac{c}{p^2} </tex> - расходится.
==Теорема о расходимости ряда <mathtex>\sum_{}^{}1/np</mathtex>==
{{Теорема|id=th3|statement=Теорема о расходимости ряда Ряд <mathtex>\sum_{}^{}1/p</mathtex>, где <tex>p</tex>- простое, расходится.|proof==Работая в условиях [[#th2|предыдущей теоремы]], продолжаем:<tex> \ln(1+x) \le x</tex>, тогда <tex> \sum_{}^{} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \cdots)} \le \sum_{}^{} {( \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}</tex>.Финально: <tex> \sum_{}^{} \frac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots) - \frac{c}{p^2}]} </tex> - расходится.}}
[[Категория: Классы чисел]]
