1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
== Определение == Пусть [[Отображения|функция]] <tex>f</tex> определена в некоторой окрестности точки <tex>x</tex>. Тогда обозначим <tex>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</tex>. Очевидно тогда, что <tex>\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0</tex>. С целью более подробного изучения <tex>\Delta y</tex> она линеаризуется по <tex>x</tex>. Отсюда возникает понятие дифференциала. {{Определение|definition=<tex>f</tex> {{---}} '''дифференцируема''' в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где <tex>o(\Delta x)</tex> {{---}} такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют '''дифференциалом''' в точке <tex>x</tex>.Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.}} {{Утверждение|statement=Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x)</tex>.|proof=Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> {{---}} бесконечно малая.}} {{Определение|definition=<tex>f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</tex>}} Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной (<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>). Однако, это верно только для функций одной переменной. Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В разработкеэтой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема. == Стандартные арифметические свойства производной ==# <tex>(f + g)' = f' + g'</tex># <tex>(fg)' = f'g + g'f</tex># <tex>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}</tex> Докажем, например, второе свойство. {{Утверждение|statement=<tex>(fg)' = f'g + g'f</tex>|proof=<tex>\Delta(fg) = (f + \Delta f)(g + \Delta g) - fg = \Delta fg + f \Delta g + \Delta f \Delta g\\(fg)' = \frac{\Delta(fg)}{\Delta x} = \frac{\Delta fg}{\Delta x} + \frac{f \Delta g}{\Delta x} + \frac{\Delta f \Delta g}{\Delta x} = f'g + g'f</tex>}} == Дифференцируемость сложной функции == Большое значение имеет правило дифференцирование сложной функции. То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет доопределить по непрерывности <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что<tex>o(\Delta x) = \left\{ \begin{aligned} 0 & ,{\,} \Delta x = 0\\ o(\Delta x) & ,{\,} \Delta x \ne 0\\ \end{aligned}\right.</tex>.Это мотивировано непрерывностью функции в точке <tex>x</tex>. {{Теорема|about=Дифференцирование сложной функции|statement=Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.|proof=По определению дифференциала <tex>\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)</tex> и <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex> <tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>\Delta y \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, топри <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>. Тогда функция <tex>z = g(f(x))</tex> при <tex>x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex> корректно определена. <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex> <tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex><tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)<tex>g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex>(по определению дифференциала для <tex>f(x)</tex>)<tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex> Итого получаем:<tex>\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex> Устремляя <tex>\Delta x \to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex> Для полного счастья осталось доказать, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>. {{Утверждение|statement=<tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>|proof=По определению <tex>o(\Delta y)</tex>, получаем:<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \ |\Delta y| < \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon</tex> Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|</tex> <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1)) </tex>, где <tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>. Из всего этого следует, что при <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>\Delta y \to 0</tex> для имеющегося <tex>\delta > 0</tex>. Так как <tex>f(x)</tex> — непрерывна, то существует <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta\Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|</tex>. Тогда получаем, что<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrowo(\Delta y) \leq M \varepsilon |\Delta x| \Rightarrow o(\Delta y) = o(\Delta x)</tex>, где <tex>M = |f'(x_0) + o(1)|</tex>.}} }} [[Категория:Математический анализ 1 курс]]
