1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}== Определение ==
Эту статью требуется как следует вычитать, так как во время её написания я всем своим нутром чуял, что пишу какой-то бред, однако не осознавая, где он, и не имел достаточного знания математического анализадля его моментального исправления. == Определение дифференцциала и производной == Пусть [[Отображения|функция ]] <tex>f</tex> определена в некоторой окрестности точки <tex>x</tex>.
Опред. {{Определение|definition=<tex>f</tex> {{---}} '''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где <tex>o(\Delta x)</tex> — {{---}} такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют '''дифференциалом ''' в точке <tex>x</tex>.
\subsection{Стандартные арифметические свойства производной}
\begin{itemize}
\item{<tex>(f + g)' = f' + g'</tex>}
\item{<tex>(fg)' = f'g + g'f</tex>}
\item{<tex>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}</tex>}
\end{itemize}
Основное Большое значение имеет правило дифференцирование сложной функции:<tex>\Delta y = \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0</tex>.
(это что?) <tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>\forall Delta y \varepsilon > to 0 \exists \delta </tex> 0: \, 0 при < |tex>\Delta x| \to 0< \varepsilon \Rightarrow\left|\frac{o/tex> и <tex>y_0 = f(\Delta xx_0)}{</tex>, топри <tex>\Delta x}\right| \leq \iff|oto 0</tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)| \leq \varepsilon |\Delta x|</tex>Здесь и далее будем считать, что принадлежит окрестности точки <tex>o(0) = 0y_0</tex>.
Теорема:Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференциркема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна при <tex>z' x = g'(y_0)f'(x_0)+ \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex>корректно определена.
Доказательство:Рассмотрим <tex>\Delta y = gf(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0) x_0 + o(\Delta y)</tex>.<tex>f(x + x_0) - f(x_0) = f(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex>
Для доказательства теоремы осталось доказать тот фактИз всего этого следует, что при <tex>o(\Delta x) = o(\to 0</tex>, <tex>\Delta y)\to 0</tex> для имеющегося <tex>\delta > 0</tex>:.
Тогда <tex>y_0 \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>. Для имеющегося <tex>\delta > 0</tex> подберем <tex>\delta_1 > 0: \, |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta \Rightarrow|o(\Delta y)| < \varepsilon |o(\Delta x)| =(?) \varepsilon |f'(x_0) + o(1)|\Delta x</tex>}}
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta_1 > 0[[Категория: \, |\Delta x| < \delta_1, o(\Delta y) \leq M\varepsilon |\delta x| \Rightarrowo(\Delta y) = o(\Delta x)</tex>Математический анализ 1 курс]]
rollbackEdits.php mass rollback
Тогда обозначим <tex>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</tex>.
Очевидно тогда, что <tex>\lim\limits_{\Delta n x \to 0} \Delta y = 0</tex>.
С целью более подробного изучения <tex>\Delta y</tex> она линеаризуется по <tex>x</tex>. Отсюда возникает
понятие дифференциала.
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
}}
{{УтверждениеУтверждение.|statement=Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) \Delta x</tex>. Доказательчтво:|proof=
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> — {{---}} бесконечно малая.}}
{{Определение:|definition=
<tex>f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}</tex>
}}
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной
переменной дифференцируемость равносильна существованию производной(<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>).
Однако, это верно только для функций одной переменной.
Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное
может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема. == Стандартные арифметические свойства производной ==# <tex>(f + g)' = f' + g'</tex># <tex>(fg)' = f'g + g'f</tex># <tex>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}</tex>
Докажем, например, второе свойство.
{{Утверждение|statement=<tex>(fg)' = f'g + g'f</tex>|proof=<tex>\Delta(fg) = (f + \Delta f)(g + \Delta g) - fg = \Delta fg + f \Delta g + \Delta f \Delta g</tex><tex>\\(fg)' = \frac{\Delta(fg)}{\Delta x} =
\frac{\Delta fg}{\Delta x} +
\frac{f \Delta g}{\Delta x} +
f'g + g'f
</tex>
}}
== Дифференцируемость сложной функции ==
То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет подставлять доопределить по непрерывности <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что
<tex>
o(\Delta x) = \left\{
\end{aligned}\right.
</tex>.
Это мотивировано непрерывностью функции в точке <tex>x</tex>. {{Теорема|about=Дифференцирование сложной функции |statement=Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.|proof=По определению дифференциала <tex>\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)</tex> и <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex>
<tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex> определена в окрестности <tex>y_0g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>. Так как (по определению дифференциала для <tex>df \to 0g(y)</tex> при )<tex>g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x ) - f(x_0)) + o(\to 0Delta y) =</tex> и (по определению дифференциала для <tex>y_0 = f(x_0x)</tex>, то)при <tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0) o(\to 0 fDelta x) + o(x_0 + \Delta xy)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.
Итого получаем:<tex>z = ??????, x \Delta g = g'(y_0)f'(x_0 + )\Delta x</tex> при <tex>+ g'(y_0)o(\Delta x ) + o(\to 0Delta y)</tex> корректно определено.
Устремляя <tex>\Delta y x \to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0 + )\Delta x) - f(x_0)</tex>
Для полного счастья осталось доказать, что <tex>y_0 o(\Delta x) = fo(x_0\Delta y)</tex>.
{{Утверждение|statement=<tex>g(fo(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'o(y_0)(f(x_0 + \Delta xy) - f(x_0)) + </tex>|proof=По определению <tex>o(\Delta y) =</tex>, получаем:<tex>g'(y_0) \cdot f'(x_0)forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \ |\Delta x+ g'(y_0) y| < \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta xy) + o(}{\Delta y)}\right| \leq \varepsilon</tex>
Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>\Rightarrow g'(f|o(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)f'(x_0y)| \Delta x + g'(y_0)o(leq \Delta x) + o(varepsilon |\Delta y) \Rightarrow dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x|</tex>
<tex>z' \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = gf'(y_0x_0) \Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0)+ o(1)) </tex>, где <tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>.
Так как <tex>f(x)</tex> — непрерывна, то существует <tex>\forall \varepsilon delta_1 > 0 : \ |\exists Delta x| < \delta > 0 delta_1 \, Rightarrow |\Delta y| < \delta \Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y|= \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|</tex>.
Тогда получаем, что<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta_1 > 0: \ |\Delta y = fx| < \delta_1 \Rightarrowo(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0y)\leq M \varepsilon |\Delta x + | \Rightarrow o(\Delta xy) = (f'(x_0) + o(1))\Delta x)</tex>, где </tex>oM = |f'(1x_0) = \frac{+ o(\Delta x1)}{\Delta x} \to 0|</tex>, так как это .бесконечно малая функция.}}
