Изменения

|definition=Рассмотрим множество перечислимых языков <tex>RE</tex>.*Свойством языков называется множество <tex>A \subset RE</tex>.*Свойство <tex>A</tex> называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex>A = \varnothing </tex> или <tex>A = \mathrm {RE} </tex>.*Языком }}{{Определение|definition='''Язык свойства называется ''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p | \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.*Свойство <tex>A</tex> называется разрешимым (перечислимым), если <tex>L(A)</tex> разрешимо (перечислимо).

Никакое нетривиальное свойство языков Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.|proof}}===Доказательство===Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм.  '''Рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.''' От Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо и нетривиально. Рассмотрим язык <tex>S</tex>, такой что <tex> S \in \overline{A}</tex> (такой язык существует, так как <tex>p_AA</tex> {{--- программа, разрешающая }} нетривиально). Тогда <tex>p_S \in L(\overline{A})</tex>.

Не умаляя общности, можно считать, что Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>\varnothing \notin AX</tex> . Пусть <tex>p_X(в противном случае перейдем к n)</tex>RE \setminus A{{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным).

В то же время, поскольку Зафиксируем произвольное <tex>An \in \mathbb{N}</tex> непусто, найдется перечислимый язык и построим следующую функцию <tex>V_n(x) = \begin{cases} p_S(x), n \in X \in A</tex>. Пусть <tex>p_X</tex> - полуразрешитель <tex>\ p_\infty(x), n \notin X\\\end{cases} </tex>.

Рассмотрим вспомогательную программу: '''function''' <tex>g_{i,V_n</tex>(x}(y): '''if''' <tex>p_X</tex> if U(i, xn) == 1 '''return ''' <tex>p_X(y)p_S</tex>(x) else зависнуть '''while''' ''true''

Нетрудно понятьПолучили, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным если <tex>in \in X</tex>,xто <tex>V_n \in L(\overline A)</tex>. Значит, можно рассмотреть такую программу: а если <tex>US(n \langle inotin X</tex>, x то <tex>V_n \rangle in L(A)</tex> return . Таким образом, <tex>p_A n \in X \iff V_n \in L( g_{i,x} \overline A) </tex>.

ЗаметимТак как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, чтолежит ли оно в <tex>L(g_\overline{i,xA}) = </tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \begin{cases} in X & U(i</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, x) = 1 \\ \varnothing & U(iлежит ли оно в <tex>X</tex>, x) \neq 1 \\\end{cases}а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex>{{---}} неразрешимо, получили противоречие.

'''Теперь рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(\overline{A})</tex>.'''  Так как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, <br/tex> A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===US(\langle iПо [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, x в неё можно написать функцию <tex> \rangle mathrm{getSrc() = p_A(g_} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. <tex> A </tex> {{i,x---}}) = \beginразрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex> {{cases---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>. Теперь допустим, что язык <tex> L_A </tex> разрешим. Тогда напишем такую программу:  p_A<tex>propA(p_Xcode) & U(i{:}</tex> // программа, x) = 1 \\разрешающее свойство языка <tex> A </tex> p_A(p_\varnothing ) & U<tex>f(i, x) \neq 1 \\{:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \endin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {cases{---} = \begin{cases}нетривиальное свойство 1 & U<tex>g(i, x) = 1 \{:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, что <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство 0 & U<tex>p(i, x) \neq 1 \\{:}</tex> '''if''' <tex>propA(\endmathrm{casesgetSrc()})</tex> '''return''' <tex>g(x)</tex> '''else''' '''return''' <tex>f(x)</tex>  Если <tex> p </tex> не удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие. Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие. == См. также ==* [[Теорема о рекурсии]]* [[Теорема Райса- программаШапиро]] == Источники информации ==* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]* Rice, разрешающая универсальное множествоH. G. {{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. ПротиворечиеSoc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений {{---}}стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]][[Категория: Разрешимые и перечислимые языки]]