Изменения

Два события <tex>A </tex> и <tex>B </tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>}} {{Определение|definition = Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>}} {{Определение|definition =События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, \ldots, k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>}} {{Определение|definition =События <tex>A_{1}, \ldots,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы. }} {{Утверждение|statement =Несовместные события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.|proof =<tex>\Rightarrow </tex>: Если несовместные события являются независимыми, то выполняется <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>. Также для несовместных событий выполняется <tex> A \cap B = \emptyset </tex>. Следовательно <tex> p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) </tex>. А это выполняется тогда и только тогда когда <tex> p(A) = 0 </tex> или <tex> p(B) = 0 </tex>. <tex> \Leftarrow </tex>:Допустим <tex>A</tex> является пустым множеством, тогда <tex> A \cap B = \emptyset</tex>. Значит <tex> p(A \cap B) = 0 </tex> и <tex> p(A) \cdot p(B) = 0</tex>. Следовательно события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми.

*==== Игральная кость====<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\fracdfrac{1}{2} </tex> {{- --}} вероятность выпадения чётной цифры <tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр <tex> A \cap B = \{2\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны.

<tex> p(A \cap B)=p(\{1,2,3\}\ p(B)=\fracdfrac{1}{26} </tex> - вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

<tex> p(A ) \cap cdot p(B)=p(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2})=\fracdfrac{1}{64}</tex>

Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)\cdot p(B)</tex>, значит эти события не независимы.==== Карты ====<tex> A =\frac{(1}{2,j)\}\cdot\frac{1}{2}p(A)=\fracdfrac{1}{4}</tex>{{---}} вероятность выпадения карты заданной масти

Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)p(B)</tex>, значит эти события не независимы.*Карты<tex> A = \{(i,1,j)\}\ p(AB)=\fracdfrac{1}{413} </tex> {{- --}} вероятность выпадения карты заданной масти заданного достоинства

<tex> A \cap B=\{(i1,1)\}\ p(B)=neq \frac{1}{13} emptyset </tex> - вероятность выпадения карты заданного достоинства, значит эти события не несовместны.

<tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\fracdfrac{1}{52}</tex> {{--- }} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

<tex>p(A)\cdot p(B)=\fracdfrac{1}{4}\cdot\fracdfrac{1}{13}=\fracdfrac{1}{52}</tex>

Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A)\cdot p(B)</tex>, значит эти события независимы.==== Честная монета ====

<tex> A = \{0\}\ </tex> {{Определение---}} выпадение орла|definition =События называются независимыми в совокупности, если для <tex>B=\forall I{1\subset }\</tex> {{1---}} выпадение решки <tex> A \cap B = \emptyset </tex>, значит эти события несовместны.==== Тетраэдр Бернштейна ====Попарно независимые события и события, независимые в совокупности {{---}} это не одно и то же. Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. <tex> A </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей красный цвет <tex> B </tex> {{---}} выпадение грани, kсодержащей синий цвет <tex> C </tex> {{---}} выпадение грани, содержащей зеленый цвет Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна: <tex>p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}</tex>  Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные {{---}} по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна:<tex>p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \bigcupcap C)=\limits_dfrac {i \in I1} A_{i4}</tex> <tex>p(A) \cdot p(B) = p(A) \prodcdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\limits_dfrac{i 1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\in Idfrac{1}{4} </tex> Все события попарно независимы, так как: <tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex> <tex>p(A_{i}A \cap C)=p(A) \cdot p(C)</tex>}}<tex>p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)</tex>

{{Определение|definition =События <tex>A_{1}, ...,A_{n}</tex> называются попарно независимыми, если для Вероятность пересечения всех трёх равна: <tex>p(A \forall i cap B \neq j</tex> <tex>cap C)=\Rightarrow A_dfrac{i1}</tex> и <tex>A_{j4}</tex> - независимы.

<tex>p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}</tex>

Попарно независимые события и Получили, что событияявляются попарно независимыми, независимые но не являются независимыми в совокупности , значит, эти два понятия {{- это --}} не одно и то же. Пример: тетраэдр Бернштейна.Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А (соответственно, В, С) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цветамы и хотели показать.

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх==См. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4также==*[[Вероятностное пространство, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 · 1/2элементарный исход, то все события попарно независимы. событие]]*[[Дискретная случайная величина]]

Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна 1== Источники информации ==*[http:/4, а не 1/8, тnsu.е. события не являются независимыми в совокупностиru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html НГУ {{---}} Независимость]

== Ссылки ==*[http://nsuru.wikipedia.ru/mmf/tvims/chernova/tvorg/lecwiki/node13.html Независимость_(теория_вероятностей) Википедия {{---}} Независимость событий(теория вероятностей)]

[http://ru*''Романовский И.wikipediaВ.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия: Независимость (теория вероятностей)]'' Дискретный анализ