Изменения

Два события <tex>A </tex> и <tex>B </tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>}} {{Определение|definition = Два события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> называются '''несовместными''' (англ. ''mutually exclusive''), если <tex> A \cap B = \emptyset </tex>}} {{Определение|definition =События называются '''независимыми в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если для <tex>\forall I\subset \{1, \ldots, k\}</tex> <tex>p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})</tex>}} {{Определение|definition =События <tex>A_{1}, \ldots,A_{n}</tex> называются '''попарно независимыми''' (англ. ''pairwise independent''), если для <tex>\forall i \neq j</tex> <tex>\Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}</tex> {{---}} независимы. }} {{Утверждение|statement =Несовместные события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.|proof =<tex>\Rightarrow </tex>: Если несовместные события являются независимыми, то выполняется <tex> p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) </tex>. Также для несовместных событий выполняется <tex> A \cap B = \emptyset </tex>. Следовательно <tex> p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) </tex>. А это выполняется тогда и только тогда когда <tex> p(A) = 0 </tex> или <tex> p(B) = 0 </tex>. <tex> \Leftarrow </tex>:Допустим <tex>A</tex> является пустым множеством, тогда <tex> A \cap B = \emptyset</tex>. Значит <tex> p(A \cap B) = 0 </tex> и <tex> p(A) \cdot p(B) = 0</tex>. Следовательно события <tex>A</tex> и <tex>B</tex> являются независимыми.

*==== Игральная кость====<tex> A = \{2,4,6\}\ p(A)=\fracdfrac{1}{2} </tex> {{- --}} вероятность выпадения чётной цифры <tex> B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} </tex> {{---}} вероятность выпадения одной из первых трёх цифр <tex> A \cap B = \{2\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны. <tex> p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}</tex>  <tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex> Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события не независимы.==== Карты ====<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти  <tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} </tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданного достоинства <tex> A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset </tex>, значит эти события не несовместны. <tex> p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}</tex> {{---}} вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства <tex>p(A) \cdot p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}</tex> Получаем, что <tex>p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)</tex>, значит эти события независимы.==== Честная монета ==== <tex> A = \{0\}\ </tex> {{---}} выпадение орла <tex> B=\{1\}\ </tex> {{---}} выпадение решки

<tex> B=\{1,2,3\}A \ p(cap B)=\frac{1}{2} emptyset </tex> , значит эти события несовместны.==== Тетраэдр Бернштейна ====Попарно независимые события и события, независимые в совокупности {{- вероятность выпадения одной из первых трёх цифр--}} это не одно и то же.

<tex>p(A)p(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}</tex> {2}=\frac{1---}{4}</tex>выпадение грани, содержащей красный цвет

Получаем, что <tex>p(A \cap B) \neq p(A)p(B)</tex>, значит эти события не независимы.*Карты<tex> A = \{(1,j)\}\ p(A)=\frac{1---}{4} </tex> - вероятность выпадения карты заданной масти выпадение грани, содержащей синий цвет

<tex> B=\{(i,1)\}\ p(B)=\frac{1}{13} C </tex> {{-- вероятность выпадения карты заданного достоинства-}} выпадение грани, содержащей зеленый цвет

<tex> p(A \cap B)=p(\{(1Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх,1)\})=\frac{1}{52}</tex> - вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинствакаждого из этих событий равна:

<tex>p(A)=p(B)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{13}p(C)=\fracdfrac{1}{522}</tex>

ПолучаемТак как одна грань содержит все три цвета, что а остальные {{---}} по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна:<tex>p(A \cap B)=p(A\cap C)=p(B\cap C)=\dfrac {1}{4} </tex>, значит эти события независимы.

{{Определение|definition =События называются независимыми в совокупности, если для <tex>p(A) \forall Icdot p(B)=p(A) \subset cdot p(C)=p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1, ..., k}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}</tex>  Все события попарно независимы, так как: <tex>p(A \bigcupcap B)=p(A) \limits_{i cdot p(B)</tex> <tex>p(A \in I} A_{i}cap C) = p(A) \prod\limits_{i \in I} cdot p(A_{i}C)</tex>}}

{{Определение|definition =События <tex>A_{1}, ...,A_{n}</tex> называются попарно независимыми, если для <tex>p(B \forall i \neq j</tex> <tex>cap C)=p(B) \Rightarrow A_{i}</tex> и <tex>A_{j}cdot p(C)</tex> - независимы.

Вероятность пересечения всех трёх равна: <tex>p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}</tex>

<tex>p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=Замечание==\dfrac{1}{8}</tex>

Попарно независимые события и события, независимые Cобытия не являются независимыми в совокупности - это не одно и то же. Пример, так как: тетраэдр Бернштейна.Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А <tex>p(A \cap B \cap C) \neq p(A) \cdot p(соответственно, В, СB) означает, что выпала грань, содержащая красный \cdot p(соответственно, синий, зелёныйC) цвета. </tex>

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2Получили, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, так как только одна грань из четырёх содержит эти два цвета. А так как 1/4 = 1/2 · 1/2понятия {{---}} не одно и то же, то все события попарно независимычто мы и хотели показать.

Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна 1/4==См. также==*[[Вероятностное пространство, а не 1/8элементарный исход, т.е. события не являются независимыми в совокупности.событие]]*[[Дискретная случайная величина]]

== Ссылки и источники Источники информации ==*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node13.html НГУ {{---}} Независимость событий]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Независимость_(теория_вероятностей) Википедия: {{---}} Независимость (теория вероятностей)]

*Дискретный анализ, ''Романовский И. В.'' Дискретный анализ