Изменения

Пусть <tex> G = (V, E) - </tex> {{---}} [[Определение_сети,_потока#flow_network|транспортная сеть]] с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f - </tex> {{---}} [[Определение_сети,_потока#flow|поток]] в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f - </tex> {{---}} [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь#residual_network|остаточная сеть]] в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f' - </tex> {{---}} поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и [[Определение_сети,_потока#flow|величина]] этого потока равна <tex>|f + f'| = |f| + |f'|</tex>.

1) # Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex> справедливо: #: <tex> (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) </tex> <tex> = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)</tex>#: 2) # Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. #: Заметим, что <tex>f'(u,v) \leqslant c_f(u,v)</tex> для всех <tex>u,v \in V </tex> и <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>. Тогда <br>#: <tex>(f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \leqslant f(u,v) + (c(u,v) - f(u,v)) = c(u,v) </tex>. #:# Заметим, что для всех <tex>u \in V - \{s,t\}</tex> справедливо равенство: <br>#: <tex> \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0</tex> <br>#:<tex> |f + f'| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) </tex> <tex>= \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = |f| + |f'|</tex>}}

Также есть лемма о разности потоков. Пусть <tex> G = (V, E) - </tex> {{---}} транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>h</tex> и <tex>f - </tex> {{---}} [[Определение_сети,_потока#flow|потоки]] в <tex>G</tex>. Пусть <tex>G_f - </tex>{{---}} [[Дополняющая_сеть,_дополняющий_путь#residual_network|остаточная сеть]] в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>. Тогда разность потоков <tex>h - f</tex>, определяемая уравнением <tex>(h - f)(u, v) = h(u,v) - f(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G_f</tex>, и величина этого потока равна <tex>|h - f| = |h| - |f|</tex>.