Изменения

[[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|<tex>y = f(x), x \in \mathbb{R};</tex> <tex]] [[Безусловный экстремум функции многих переменных|>f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex>]]

Как ранее было установлено, для функции одной переменной <tex>\mathcal{4}f(x_0)y =f(x)-f(x_0), x \in \mathbb{R} </tex>выполняется следующее:

<tex>d^k f(x_0x)=\sum \limits_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\mathcaltheta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{4n+1}x_k</tex>

<tex>\mathcal{4}f(x_0,\mathcal{4}x)=f(x_0) + \sum \limits_{k=1}^n \frac {1}f^{(k!)} d^k f(x_0,\mathcal)}{4k!}(x-x_0)^k+\frac {1}f^{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\mathcal(x-x_0))}{4(n+1)!}(x,\mathcal-x_0)^{4n+1}x)</tex>

<tex> f(x) - f(x_0) = \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} </tex> <tex>\Delta f(x_0, \Delta{x})=f(x_0 + \Delta{x})-f(x_0)</tex> <tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\Delta x^k</tex> <tex>\Delta f(x_0,\Delta x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\Delta x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\Delta x,\Delta x)</tex> Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: <tex>x_0</tex> переходит в <tex>\overline {x_0}</tex>, а <tex>\mathcal{4}Delta x</tex> — в <tex>\mathcal{4}Delta \overline x</tex>, но сначала нужно дополнить наши теоретические построения.

<tex>\frac \deltapartial{\delta partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <tex>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \deltapartial{\delta partial y} \left ( \frac {\delta partial f}{\delta x_jpartial x} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо. В каком случае <tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}</tex>? Докажем теорему, отвечающую на этот вопрос для функции двух переменных, для функции n переменных можно поступить аналогично. 

Пусть в двумерном шаре у функции <tex>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <tex>\overline a</tex> этого шара. Тогда в <tex>\overline a</tex>: <tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y} (\overline a)=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}(\overline a)</tex>

<tex>\mathcal{4}_x Delta_x f=f(x+\mathcal{4}Delta x,y)-f(x,y)</tex> <tex>\Delta_y f=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)</tex> <tex>\Delta_x \Delta_y f=\Delta_x (f(x,y+\Delta y)-f(x,y))=(f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y))-(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))</tex> Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим <tex>\Delta_x \Delta_y f=\Delta_y \Delta_x f</tex>.

<tex>\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\mathcal{4}x g(f(x,y+\mathcal{4}y)-f(x,y)t)=(f(x+\mathcal{4}x,y+\mathcal{4}y)-f(x+\mathcal{4}x,y))-(f(xt,y+\mathcal{4}Delta y)-f(xt,y))</tex>

Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим <tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=g(x+\Delta x)-g(x)=g'(x+\theta_1 \mathcal{4}_y Delta x)\mathcal{4}_x fDelta x</tex>.

Введём функцию <tex>g'(t)=\frac {\partial f}{\partial x}(t,y+\mathcal{4}Delta y)-\frac {\partial f}{\partial x}(t,y)</tex>.

<tex>\mathcal{4}Delta _x \mathcal{4}Delta _y f=g\left ( \frac {\partial f}{\partial x} (x+\mathcal{4}theta_1 \Delta x,y+\Delta y )-g(\frac {\partial f}{\partial x)=g'}(x+\theta theta_1 \mathcal{4}Delta x,y)\mathcal{4}right )\Delta x</tex>

<tex>\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\left h( \frac {\delta f}{\delta x} ( x + \theta_1 \mathcal{4}x,y+\mathcal{4}y t) - =\frac {\delta partial f}{\delta partial x}( x + \theta_1 \mathcal{4}Delta x,y) \right t)\mathcal{4}x</tex>

<tex>g(t)=\frac {Delta _x \delta Delta _y f}{=(h(y+\Delta y)-h(y))\delta Delta x}=h'(xy+\theta_1theta_2 \mathcal{4}Delta y) \Delta x,t)\Delta y</tex>

<tex>h'(t)=\mathcalfrac {4\partial^2 f}_x {\mathcal{4}_y f=(g(partial x \partial y+\mathcal{4}y)-g(y))\mathcal{4}x=g'(y+\theta_2 theta_1\mathcal{4}yDelta x,t) \mathcal{4}x \mathcal{4}y</tex>

<tex>g'(t)\Delta _x \Delta _y f=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}(x+\theta_1\mathcal{4}Delta x,ty+\theta_2 \Delta y)\Delta x \Delta y</tex>

<tex>\mathcal{4}Delta _y \mathcal{4}Delta _x f=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial y \delta partial x}(x+\theta_3\mathcal{4}Delta x,y+\theta_4 \mathcal{4}Delta y) \mathcal{4}Delta x \mathcal{4}Delta y</tex>

<tex>\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial x \delta partial y}(a+\theta_1\mathcal{4}Delta a,b+\theta_2 \mathcal{4}Delta b) \mathcal{4}Delta a \mathcal{4}Delta b=\frac {\deltapartial^2 f}{\delta partial b \delta partial a}(a+\theta_3\mathcal{4}Delta a,b+\theta_4 \mathcal{4}Delta b) \mathcal{4}Delta a \mathcal{4}Delta b~~\forall \mathcal{4}Delta a,\mathcal{4}Delta b.</tex> <tex>\theta_i \in (0,1)</tex>

В <tex>\overline a</tex> оба выражения непрерывны. Устремим <tex>\mathcal{4}Delta a,\mathcal{4}Delta b \to 0</tex> и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.

Следствие: Если в некотором шаре функция многих переменных имеет частные производные до <tex>p</tex>-го порядка включительно, и каждая из них непрерывна, то результат дифференцирования от последовательности переменных не зависит, важно лишь число дифференцирований по каждой переменной: <tex>\frac {\deltapartial^{10} f}{\delta partial x^7 \delta partial y^3}=\frac {\deltapartial^{10} f}{\delta partial y^3 \delta partial x^7}</tex>, например.

<tex>d^{n+1}f(\overline x, \mathcal{4} Delta \overline x)</tex><tex>=d(d^n f (\overline x, \mathcal{4} Delta \overline x))</tex><br><tex>d^2 f=d\left( \frac {\delta partial f}{\delta partial x}(\overline x) \mathcal{4}Delta x-+ \frac {\delta partial f}{\delta partial y}(\overline x) \mathcal{4}Delta y\right)</tex><tex>=\frac{\deltapartial^2 f}{\delta partial x^2}(\overline x) \mathcal{4}Delta x^2+2\frac{\deltapartial^2f}{\delta partial x \delta partial y}(\overline x) \mathcal{4}Delta x\mathcal{4}Delta y+\frac{\deltapartial^2 f}{\delta partial y^2}(\overline x) \mathcal{4}Delta y^2.</tex> . Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\mathcal{4}Delta x</tex>, <tex>dy=\mathcal{4}Delta y</tex>: <tex>x=a+bt</tex>,<tex>dx=bdt</tex>

<tex>g(t)=f(a+bt,c+dtmt)</tex>

<tex>dg=g'(t)dt=\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(a+bt)bdt+ \frac {\delta partial f}{\delta partial y}(c+dtmt)ddtmdt</tex><tex>=\frac {\delta partial f}{\delta partial x}(a+bt)dx+ \frac {\delta partial f}{\delta partial y}(c+dtmt)dy=\frac{\delta f}{\delta x}df</tex>

===Формула Тейлора===Рассмотрим пару <tex>(\overline a, \overline b)</tex>: <tex>\overline b - \overline a = \mathcal{4}Delta \overline a</tex>

<tex>g(t)=f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)</tex>

<tex>g(1)-g(0)=f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)-f(\overline a)</tex>

Так как мы делали линейную замену, можно просто подставить <tex> f </tex> обратно, тогда получим: <tex>f(\overline a+t\mathcal{4}Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\mathcal{4}Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> — формула Тейлора для функции многих переменных. При  В частности, при <tex>n=1</tex>: <tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline a)\Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^m \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (\overline a+\theta \Delta \overline a)\Delta a_i\Delta a_j</tex>

[[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|<tex<]] [[Безусловный экстремум функции многих переменных|>f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^n\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline a)\mathcal{4}\overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n \frac {\delta^2 f}{\delta x_i \delta x_j} (\overline a+\theta \mathcal{4}\overline a)\mathcal{4}a_i\mathcal{4}a_j</tex>]]<references/>[[Категория:Математический анализ 1 курс]]