Изменения

Как ранее было установлено, для [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|<<]] [[Безусловный экстремум функции одной переменной выполняется следующее:многих переменных|>>]]

Как ранее было установлено, для функции одной переменной <tex>y = f(x), x \in \mathbb{R};</tex> <tex>f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</tex>выполняется следующее:

<tex>f(x) =\sum \limits_{k=0}^n \Delta frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)=^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-f(x_0)^{n+1}</tex>

<tex> f(x) = f(x_0) + \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} </tex> <tex> f(x) - f(x_0) = \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} </tex> <tex>\Delta f(x_0, \Delta{x})=f(x_0 + \Delta{x})-f(x_0)</tex> <tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\Delta x_kx^k</tex>

Пусть <tex>z = f(x,y)</tex>. Тогда <tex>\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x_jx} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <tex>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.

Введём функцию <tex>g(t)=f(t,y+\Delta y)-f(t,y)</tex>.:

<tex>g(t)=f(t,y+\Delta y)-f(t,y)</tex> <tex>\Delta _x \Delta _y f=g(x+\Delta x)-g(x)=g'(x+\theta theta_1 \Delta x)\Delta x</tex>

<tex>h(t)=\Delta _x frac {\Delta _y partial f=(g(y+}{\Delta y)-gpartial x}(y))\Delta x=g'(y+\theta_2 theta_1\Delta yx,t) \Delta x \Delta y</tex>

<tex>g\Delta _x \Delta _y f=(h(y+\Delta y)-h(y))\Delta x=h'(y+\theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y</tex> <tex>h'(t)=\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta_1\Delta x,t)</tex>

<tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a+\theta_1\Delta a,b+\theta_2 \Delta b) \Delta a \Delta b=\frac {\partial^2 f}{\partial b \partial a}(a+\theta_3\Delta a,b+\theta_4 \Delta b) \Delta a \Delta b~~\forall \Delta a,\Delta b.</tex> <tex>\theta_i \in (0,1)</tex>

<tex>d^2 f=d\left( \frac {\partial f}{\partial x}(\overline x) \Delta x-+ \frac {\partial f}{\partial y}(\overline x) \Delta y\right)</tex><tex>=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\overline x) \Delta x^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(\overline x) \Delta x\Delta y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\overline x) \Delta y^2</tex>. Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\Delta x</tex>, <tex>dy=\Delta y</tex>: <tex>x=a+bt</tex>, <tex>dx=bdt</tex>

<tex>g(t)=f(a+bt,c+dtmt)</tex>

<tex>dg=g'(t)dt=\frac {\partial f}{\partial x}(a+bt)bdt+ \frac {\partial f}{\partial y}(c+dtmt)ddtmdt</tex><tex>=\frac {\partial f}{\partial x}(a+bt)dx+ \frac {\partial f}{\partial y}(c+dtmt)dy=\frac{\partial f}{\partial x}df</tex>

<tex>g(1)-g(0)=f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)</tex>

<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> — формула Тейлора для функции многих переменных.

В частности, при <tex>n=1</tex>:

<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^nm\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline a)\Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n m \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (\overline a+\theta \Delta \overline a)\Delta a_i\Delta a_j</tex>