Изменения

Как ранее было установлено, для функции одной переменной <tex>y = f(x), x \in \mathbb{R} </tex> выполняется следующее:

<tex> f(x) - f(x_0) = \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} </tex>

<tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\Delta x^k</tex>

<tex>g(t)=f(t,y+\Delta y)-f(t,y)</tex>

<tex>g'(t)=\frac {\partial f}{\partial x}(t,y+\Delta y)-\frac {\partial f}{\partial x}(t,y)</tex>

<tex>d^2 f=d\left( \frac {\partial f}{\partial x}(\overline x) \Delta x + \frac {\partial f}{\partial y}(\overline x) \Delta y\right)</tex><tex>=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\overline x) \Delta x^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(\overline x) \Delta x\Delta y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\overline x) \Delta y^2</tex>. Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\Delta x</tex>, <tex>dy=\Delta y</tex>: <tex>x=a+bt</tex>, <tex>dx=bdt</tex>

<tex>g(t)=f(\overline a+t\Delta \overline a)</tex>

<tex>g(1)-g(0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}g(0)}{k!}+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}g(\theta)</tex>

Так как мы делали линейную замену, можно просто подставить <tex> f </tex> обратно, тогда получим:

В частности, при <tex>n = 1</tex>:

<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline a)\Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^m \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (\overline a+\theta \Delta \overline a)\Delta a_i\Delta a_j</tex>

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]