Примитивно рекурсивные функции

<< >>

Рекурсивные функции

Строительные блоки рекурсивных функций

Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:

1. $\mathrm{Z}$ — ноль.

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, $\mathrm{Z}(x) = 0$

2. $\mathrm{N}$ — инкремент.

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, $\mathrm{N}(x) = x'$, где $x' = x + 1$.

3. $\mathrm{U^n_i}$ — проекция ($i$-ый аргумент среди $n$).

$\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}$, $\mathrm{U^n_i} (x_1, \ldots, x_n) = x_i$

4. $\mathrm{S}$—подстановка.

Если $\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}$ и $\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}$, то $\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}$. При этом $\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1}, \ldots, \mathrm{g_n}\rangle (x_1, \ldots, x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1, \ldots, x_m), \ldots \mathrm{g_n}(x_1, \ldots, x_m))$

5. $\mathrm{R}$ — примитивная рекурсия.

Если $\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}$ и $\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}$, то $\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}$, при этом $\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1, \ldots, x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n) & y = 0\\ \mathrm{g}(x_1, \ldots, x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1, \ldots, x_n,y-1)) & y \gt 0 \end{array}\right.$

6. $\mu$ — минимизация.

Если $\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}$, то $\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}$, при этом $\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1, \ldots, x_n)$ — такое минимальное число $y$, что $\mathrm{f}(x_1, \ldots, x_n,y) = 0$. Если такого $y$ нет, результат данного примитива неопределен.

Определение:

Если некоторая функция $\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}$ может быть задана с помощью данных примитивов(англ. primitive), то она называется рекурсивной (англ. recursive).

Примитивно рекурсивные функции

Определение:

Примитивно рекурсивными (англ. Primitively recursive) называют функции, которые можно получить с помощью правил $1$—$5$.

Заметим, что если $\mathrm{f}$ — $n$-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве $\mathbb{N}^{n}$, так как $\mathrm{f}$ получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Если же говорить формально, то это свойство рекурсивных функций называется тотальностью.

Определение:

Тотальность (англ. Total Function) — функция, определенная для всех возможных входных данных.

Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:

• В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.
• В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка $\mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y))$ эквивалентна $\mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{U^2_2}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_1}(x,y),\mathrm{U^2_2}(x,y)))$, но если $\mathrm{F}$ не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.

Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях

n-местный ноль

$\textbf 0$ — функция нуля аргументов.

$\textbf 0^{1}(y) = \mathrm{Z}(y)$

$\textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y) = \mathrm{Z}(y)$

Теперь вместо функции $\mathrm{Z}(x)$ будем использовать константу $\textbf 0$, обозначив ее как $\mathrm{Z}(x)$.

Константа $\textbf M$

$\textbf M(x) = \underbrace{\mathrm{N}(\ldots (\mathrm{N}}_{ \text{M раз} }(\mathrm{Z}(x))))$

$\textbf M^n$ — $n$-местная константа, получается аналогичным к $\textbf 0^n$ образом.

Сложение

$\mathrm{sum}(x, y) = \mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x,y)$, где

$\mathrm{f}(x) = x$

$\mathrm{g}(x, y, z) = \mathrm{N}(z)$

$\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x) & y = 0\\ \mathrm{g}(x, y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y \gt 0 \end{array}\right.$

$=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{R} \langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x, y-1)) & y \gt 0 \end{array}\right.$

$=\left\{\begin{array} {ll} x & y = 0\\ \mathrm{N}(\mathrm{sum}(x, y-1)) & y \gt 0 \end{array}\right.$

Можно преобразовать в более простой вид.

$\mathrm{sum}(x,0) = x$

$\mathrm{sum}(x,y) = \mathrm{N} (\mathrm{sum}(x,y-1))$

Умножения

$\mathrm{prod}(x,0) = \mathrm{Z}(x)$

$\mathrm{prod}(x,y) = \mathrm{sum}(x,\mathrm{prod}(x,y-1))$

Вычитания

Если $x \leqslant y$, то $\mathrm{sub}(x,y) = 0$ , иначе $\mathrm{sub}(x,y) = x - y$.

Рассмотрим сначала вычитания единицы $\mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1$

$\mathrm{sub_1}(0) = \mathrm{Z}(0)$

$\mathrm{sub_1}(x+1) = x$

Теперь рассмотрим $\mathrm{sub}(x,y)$

$\mathrm{sub}(x,0) = x$

$\mathrm{sub}(x,y) = \mathrm{sub_1}(\mathrm{sub}(x,y-1))$

Операции сравнения

$\mathrm{eq}(x,y) = 1$ если $x = y$, иначе $\mathrm{eq}(x,y) = 0$

$\mathrm{le}(x,y) = 1$ если $x \leqslant y$, иначе $\mathrm{lq}(x,y) = 0$

$\mathrm{lower}(x,y) = 1$ если $x \lt y$, иначе $\mathrm{lower}(x,y) = 0$

Сначала выразим $\mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0)$

$\mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{N}(0)$

$\mathrm{eq_0}(y) = \mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1))$ , где $\mathrm{h}(y-1,\mathrm{eq}(y-1)) = \mathrm{Z}(x,y-1)$

Теперь все остальные функции

$\mathrm{le}(x,y) = \mathrm{eq_0}(\mathrm{sub}(x,y))$

$\mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x))$

$\mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{N}(x),y))$

Условный оператор

$\mathrm{if}(0,x,y) = y$

$\mathrm{if}(c,x,y) = x$

Деление

$\mathrm{divide}(x,y) = \Bigl \lfloor \dfrac{x}{y} \Bigr \rfloor$, если $y \gt 0$. Если же $y = 0$, то значение функции нас не интересует, и можно определить её как угодно.

Сначала определим $\mathrm{divmax}(x,y)$ — функция равна максимальному числу меньшему или равному $x$, которое нацело делится на $y$.

$\mathrm{divmax}(0,y) =\mathrm{Z}(y)$

$\mathrm{divmax}(x,y) =\mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y)),y),$$\mathrm{N}(x-1),\mathrm{divmax}(x-1,y))$

Теперь само деления

$\mathrm{divide}(0,y) = \mathrm{Z}(y)$

$\mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y))$, где $\mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{N}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{N}(x),y)))$

Остаток от деления выражается так:

$\mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y)))$

Работа со списками фиксированной длины

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск $n$-ого простого числа. Рассмотрим список из натуральны чисел $[x_1,\ldots,x_n]$, тогда ему в соответствия можно поставить число $p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1}$, где $p_i$ — $i$-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие $i$ - того элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

Теоремы

Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций

Теорема:

Если для вычислимой функции $\mathrm{F}$ существует примитивно рекурсивная функция $\mathrm{T}$, такая что для любых аргументов $args$ максимальное количество шагов, за которое будет посчитана $\mathrm{F}(x)$ на МТ равно $\mathrm{T}(args)$, то $\mathrm{F}$ примитивно рекурсивная функция.

Доказательство:

$\triangleright$

Каждому состоянию МТ поставим в соответствие список из четырех чисел $[L,R,S,C]$, где: $L$ — состояние МТ слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту МТ. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным. $R$ — состояние МТ справа от головки, представлено аналогично $L$ только возле головки МТ находятся старшие разряды. $S$ — номер текущего состояния. $C$ — символ на который указывает головка ленты. Тогда всем переходам соответствует функция $\mathrm{f}([L,R,S,C])$ принимающая состояние МТ и возвращающая новое состояние. Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в $C$ записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в $L$ и $R$ в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в $C$ записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в $S$ записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода — примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций $\mathrm{if}$ следует что и $\mathrm{f}$ также является примитивно рекурсивной функцией. Функции преобразование аргументов в формат входных данных для МТ и получения ответа по состоянию МТ также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их $\mathrm{IN}$ и $\mathrm{OUT}$. Рассмотрим функцию двух аргументов $\mathrm{N}([L,R,S,C],t)$ которая принимает состояние МТ , число шагов $t$ и возвращает состояние МТ после $t$ шагов. Покажем что $\mathrm{N}$ — примитивно рекурсивная функция. $\mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C]$ $\mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t))$ , где $\mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1])$ Вместо $t$ подставим $\mathrm{T}(args)$ и в итоге получим что $\mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args)))$ — примитивно рекурсивная функция.

$\triangleleft$

См. также

• Лямбда-исчисление
• Частично рекурсивные функции

Источники информации

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012
• Википедия — Рекурсивная функция
• Wikipedia — Primitive recursive function