Изменения

<tex>\mathrm{\#SAT}=\{\langle \varphi, k \rangle \bigm| \varphi</tex> имеет ровно <tex>k</tex> удовлетворяющих наборов <tex>\}</tex>.

|statement=<tex>\phi(sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots x_n) \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_nx_m)=k \Leftrightarrow \langle\phi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.|proof=Следует из [[Арифметизация булевых формул с кванторами | леммы (1)]].

|statement=<tex>\mathrm{\#SAT} \in \mathrm{IP}</tex>.|proof=Для доказательства леммы построим программы ''Verifier'' и ''Prover'' из [[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM#Класс IP|определения]] класса <tex>\mathrm{IP}</tex>. Сперва арифметизуем формулу <tex>\phi</tex>. Пусть полученный полином <tex>A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> имеет степень <tex>d</tex>. По лемме (1) вместо условия <tex>\langle \phi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>, можно проверять условие <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1,\ldots, x_nx_m)=k</tex>. Приступим к описанию ''Verifier'''а. '''Шаг 0'''  Если <tex>d=0</tex> или <tex>m=0</tex>, то ''Verifier'' может проверить указанное выше условие сам и вернуть соответствующий результат.Иначе запросим у ''Prover'''а такое простое число <tex>p</tex>, что <tex>3dm \le p \le 6dm</tex> (такое <tex>p</tex> существует в силу [http://ru.wikipedia.org/wiki/Постулат_Бертрана постулата Бертрана]). Проверим <tex>p</tex> на простоту и на принадлежность заданному промежутку. Как мы [[Класс P#Примеры задач и языков из P|знаем]], <tex>\mathrm{Primes} \in \mathrm{P}</tex>, следовательно на эти операции у ''Verifier'''а уйдёт полиномиальное от размера входа время. Далее будем проводить все вычисления модулю <tex>p</tex>. Попросим ''Prover'' 'а прислать ''Verifier'' 'у формулу <tex>A_0(x_1)= \sum\limits_{x_2 = 0}^{1} \ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex>. Заметим, что размер формулы <tex>A_0(x_1)</tex> будет полином от длины входа ''Verifier'' 'а, так как <tex>A_0(x_1)</tex> — полином степени не выше, чем <tex>d</tex>, от одной переменной, а значит его можно представить в виде <tex>A_0(x) = \sum\limits_{i = 0}^{d} C_i \cdot x ^ i</tex>. Проверим следующее утверждение: <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex> (*) (здесь и далее под словом «проверим» будем подразумевать следующее: если утверждение верно, ''Verifier'' продолжает свою работу, иначе он прекращает свою работу и возвращет '''false'''). '''Шаг i''' Пусть <tex>r_i = random(0..p-1)</tex>. Отправим <tex>r_i</tex> программе ''Prover''. Попросим ''Prover'' 'а прислать ''Verifier'' 'у формулу <tex>A_i(x_{i+1}) = \sum\limits_{x_{i+2} = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(r_1,\ldots, r_i, x_{i+1}, ..., x_m)</tex>. Проверим следующее утверждение: <tex>A_i(0) + A_i(1) = A_{i-1}(r_i)</tex> (*).  '''Шаг m''' Пусть <tex>r_m = random(0..p-1)</tex>. Отправим <tex>r_m</tex> программе ''Prover''. Попросим программу ''Prover'' прислать ''Verifier'' 'у значение <tex>A_m()= A(r_1, r_2, ..., r_m)</tex>. Проверим следующее утверждение: <tex>A_m() = A_{m-1}(r_m)</tex> (*).А также сами подставим <tex>r_1, r_2, ..., r_m</tex> в <tex>A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> и проверим правильность присланного значения <tex>A_m()</tex>. Возвращаем '''true'''. Докажем теперь, что построенный таким образом ''Verifier'' — корректный. Для этого нужно доказать следующие утверждения:# Построенный ''Verifier'' - вероятностная машина Тьюринга, совершающая не более полинома от длины входа действий.# <tex>\langle \varphi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT} \Rightarrow \exists \mathit{Prover} : P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \ge 2/3</tex>.# <tex>\langle \varphi, k \rangle \notin \mathrm{\#SAT} \Rightarrow \forall \mathit{Prover} : P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \le 1/3</tex>. Докажем эти утверждения. #Первый факт следует из построения ''Verifier'' 'а.#По [[Арифметизация булевых формул с кванторами | лемме (2)]], если <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_nx_m)=k</tex>, то условия (*) выполнятются, следовательно существует такой ''Prover'', что <tex>P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle\phi,k \iff rangle)) = 1</tex>, для любой пары <tex>\langle\phi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.#Пусть количество наборов, удовлетворяющих <tex>\phi</tex>, не равно <tex>k</tex>. Для того, что бы ''Verifier'' вернул '''true''', ''Prover'' 'у необходимо посылать такие <tex>A_i</tex>, чтобы выполнялись все проверяемые условия. Посмотрим на то, что он может послать::'''Шаг 0''':Так как количество наборов, удовлетворяющих <tex>\phi</tex>, не равно <tex>k</tex>, то ''Prover'' не может послать правильное <tex>A_0</tex>, поскольку в этом случае не выполнится условие <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex>.Поэтому он посылает не <tex>A_0</tex>, а некое <tex>\tilde{A}_0</tex>.:<tex>\ldots</tex>:'''Шаг i'''|proof:Заметим, что если на каком-то шаге <tex>A_{i-1}(r_i) = \tilde{A}_{i-1}(r_i)</tex>, то начиная со следующего шага ''Prover'' может посылать правильные <tex>A_j</tex> и в итоге ''Verifier'' вернёт '''true'''.:Для некоторого случайно выбранного <tex>r_i</tex> вероятность того, что <tex>A_{i-1}(r_i) =Следует \tilde{A}_{i-1}(r_i)</tex>, то есть <tex>r_i</tex> — корень полинома <tex>(A_{i-1} - \tilde{A}_{i-1})(r_i)</tex>, имеющего степень не больше <tex>d</tex>, не превосходит <tex>\frac{d}{p}</tex>.:<tex>\ldots</tex>:'''Шаг m''':Так как на последнем шаге ''Verifier'' полученным от ''Prover'' значение с непосредственно вычисленным, слово будет допущено только в том случае, когда ''Prover'' смог прислать верное значение, что в свою очередь возможно лишь если на одном из леммы предыдущих шагов был верно угадан корень полинома.::Вычислим вероятность того, что хотя бы раз корень был угадан.:<tex>P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) = 1 - (1 - \frac d p)^m \le 1 - (1- \frac d {3dm})^m \le \frac 1 3</tex>.:В последнем переходе мы воспользовались [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора формулой Тейлора] для логарифма и экспоненты, а также тем, что <tex>m>0</tex>. Таким образом, построенный нами ''Verifier'' корректен, а значит лемма доказана.

Сведём язык <tex>\mathrm{TAUT}</tex> к языку <tex>\mathrm{\#SAT}</tex> следующим образом: <tex>\phi \mapsto \langle \phi, 2^k \rangle </tex>, где <tex>k</tex> — количество различных переменных в формуле <tex>\phi</tex>.

Очевидно, что <tex>\phi \in \mathrm{TAUT } \iff Leftrightarrow \langle \phi, 2^k \rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.

По лемме (32) <tex>\mathrm{\#SAT } \in \mathrm{IP}</tex>. Тогда <tex>\mathrm{TAUT } \in \mathrm{IP}</tex>. Так как <tex>\mathrm{TAUT } \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}</tex>.