Лемма о соотношении coNP и IP — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 22 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
{{В разработке}}
 +
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>\#SAT=\{\langle \varphi, k \rangle | \varphi</tex> имеет ровно <tex>k</tex> удовлетворяющих наборов <tex>\}</tex>.
+
<tex>\mathrm{\#SAT}=\{\langle \varphi, k \rangle \bigm| \varphi</tex> имеет ровно <tex>k</tex> удовлетворяющих наборов <tex>\}</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 7: Строка 9:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about=1
 
|about=1
|statement=<tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1  A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k \iff \langle\phi,k\rangle \in \#SAT</tex>.
+
|statement=<tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1  A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k \Leftrightarrow \langle\phi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.
 
|proof=Следует из [[Арифметизация булевых формул с кванторами | леммы (1)]].
 
|proof=Следует из [[Арифметизация булевых формул с кванторами | леммы (1)]].
 
}}
 
}}
Строка 14: Строка 16:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about=2
 
|about=2
|statement=<tex>\#SAT \in \mathrm{IP}</tex>.
+
|statement=<tex>\mathrm{\#SAT} \in \mathrm{IP}</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Для доказательства леммы построим программы ''Verifier'' и ''Prover'' из [[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM#Класс IP|определения]] класса <tex>\mathrm{IP}</tex>.
 
Для доказательства леммы построим программы ''Verifier'' и ''Prover'' из [[Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM#Класс IP|определения]] класса <tex>\mathrm{IP}</tex>.
Строка 20: Строка 22:
 
Сперва арифметизуем формулу <tex>\phi</tex>. Пусть полученный полином <tex>A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> имеет степень <tex>d</tex>.
 
Сперва арифметизуем формулу <tex>\phi</tex>. Пусть полученный полином <tex>A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> имеет степень <tex>d</tex>.
  
По лемме (1) вместо условия <tex>\langle \phi, k \rangle \in \#SAT</tex>, можно проверять условие <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1  A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>.
+
По лемме (1) вместо условия <tex>\langle \phi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>, можно проверять условие <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1  A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>.
  
 
Приступим к описанию ''Verifier'''а.
 
Приступим к описанию ''Verifier'''а.
Строка 26: Строка 28:
 
'''Шаг 0'''  
 
'''Шаг 0'''  
  
Запросим у ''Prover'''а такое простое число <tex>p</tex>, что <tex>max(2^m+1, k_p) \le p \le 2 \cdot max(2^m+1, k_p)</tex>.
+
Если <tex>d=0</tex> или <tex>m=0</tex>, то ''Verifier'' может проверить указанное выше условие сам и вернуть соответствующий результат.
Проверим простоту <tex>p</tex> и условие <tex>max(2^m+1, k_p) \le p \le 2 \cdot max(2^m+1, k_p)</tex> (константу <tex>k_p</tex> определим позднее). Как мы [[Класс P#Примеры задач и языков из P|знаем]], <tex>Primes \in \mathrm{P}</tex>, следовательно на эти операции у ''Verifier'''а уйдёт полиномиальное от размера входа время.
+
Иначе запросим у ''Prover'''а такое простое число <tex>p</tex>, что <tex>3dm \le p \le 6dm</tex> (такое <tex>p</tex> существует в силу [http://ru.wikipedia.org/wiki/Постулат_Бертрана постулата Бертрана]).
 +
Проверим <tex>p</tex> на простоту и на принадлежность заданному промежутку. Как мы [[Класс P#Примеры задач и языков из P|знаем]], <tex>\mathrm{Primes} \in \mathrm{P}</tex>, следовательно на эти операции у ''Verifier'''а уйдёт полиномиальное от размера входа время.
  
 
Далее будем проводить все вычисления модулю <tex>p</tex>.
 
Далее будем проводить все вычисления модулю <tex>p</tex>.
  
 
Попросим ''Prover'' 'а прислать ''Verifier'' 'у формулу <tex>A_0(x_1)= \sum\limits_{x_2 = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex>.  
 
Попросим ''Prover'' 'а прислать ''Verifier'' 'у формулу <tex>A_0(x_1)= \sum\limits_{x_2 = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex>.  
Заметим, что размер формулы <tex>A_0(x_1)</tex> будет полином от длины входа ''Verifier'' 'а, так как <tex>A_0(x_1)</tex> полином от одной переменной степени не выше, чем <tex>d</tex>, а значит его можно представить в виде <tex>A_0(x) = \sum\limits_{i = 0}^{d} C_i \cdot x ^ i</tex>.
+
Заметим, что размер формулы <tex>A_0(x_1)</tex> будет полином от длины входа ''Verifier'' 'а, так как <tex>A_0(x_1)</tex> полином степени не выше, чем <tex>d</tex>, от одной переменной, а значит его можно представить в виде <tex>A_0(x) = \sum\limits_{i = 0}^{d} C_i \cdot x ^ i</tex>.
  
Проверим следующее утверждение: <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex> (здесь и далее под словом «проверим» будем подразумевать следующее: если утверждение верно, ''Verifier'' продолжает свою работу, иначе он прекращает свою работу и возвращет '''false''').
+
Проверим следующее утверждение: <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex> (*) (здесь и далее под словом «проверим» будем подразумевать следующее: если утверждение верно, ''Verifier'' продолжает свою работу, иначе он прекращает свою работу и возвращет '''false''').
  
 
'''Шаг i'''
 
'''Шаг i'''
  
Пусть <tex>r_i = random(p)</tex>. Отправим <tex>r_i</tex> программе ''Prover''.
+
Пусть <tex>r_i = random(0..p-1)</tex>. Отправим <tex>r_i</tex> программе ''Prover''.
  
Пусть <tex>A_i(x_{i+1}) = \sum\limits_{x_{i+2} = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(r_1,\ldots, r_i, x_{i+1}, ..., x_m)</tex>.
+
Попросим ''Prover'' 'а прислать ''Verifier'' 'у формулу <tex>A_i(x_{i+1}) = \sum\limits_{x_{i+2} = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(r_1,\ldots, r_i, x_{i+1}, ..., x_m)</tex>.
  
Попросим ''Prover'' 'а прислать ''Verifier'' 'у формулу <tex>A_i(x_{i+1})</tex>.
+
Проверим следующее утверждение: <tex>A_i(0) + A_i(1) = A_{i-1}(r_i)</tex> (*).  
Проверим следующее утверждение: <tex>A_i(0) + A_i(1) = A_{i-1}(r_i)</tex>.
 
  
 
'''Шаг m'''
 
'''Шаг m'''
  
Пусть <tex>r_m = random(p)</tex>. Отправим <tex>r_m</tex> программе ''Prover''.
+
Пусть <tex>r_m = random(0..p-1)</tex>. Отправим <tex>r_m</tex> программе ''Prover''.
  
 
Попросим программу ''Prover'' прислать ''Verifier'' 'у значение <tex>A_m()= A(r_1, r_2, ..., r_m)</tex>.
 
Попросим программу ''Prover'' прислать ''Verifier'' 'у значение <tex>A_m()= A(r_1, r_2, ..., r_m)</tex>.
  
Проверим следующее утверждение: <tex>A_m() = A_{m-1}(r_m)</tex>.
+
Проверим следующее утверждение: <tex>A_m() = A_{m-1}(r_m)</tex> (*).
 
А также сами подставим <tex>r_1, r_2, ..., r_m</tex> в <tex>A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> и проверим правильность присланного значения <tex>A_m()</tex>.
 
А также сами подставим <tex>r_1, r_2, ..., r_m</tex> в <tex>A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> и проверим правильность присланного значения <tex>A_m()</tex>.
  
 
Возвращаем '''true'''.
 
Возвращаем '''true'''.
  
Докажем теперь, что построенный таким образом ''Verifier'' — корректный. Таким образом, нужно доказать:
+
Докажем теперь, что построенный таким образом ''Verifier'' — корректный. Для этого нужно доказать следующие утверждения:
 
# Построенный ''Verifier'' - вероятностная машина Тьюринга, совершающая не более полинома от длины входа действий.
 
# Построенный ''Verifier'' - вероятностная машина Тьюринга, совершающая не более полинома от длины входа действий.
# <tex>\langle \varphi, k \rangle \in \#SAT \Rightarrow \exists Prover : P(Verifier^{Prover}(x)) \ge 2/3</tex>.
+
# <tex>\langle \varphi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT} \Rightarrow \exists \mathit{Prover} : P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \ge 2/3</tex>.
# <tex>\langle \varphi, k \rangle \notin \#SAT \Rightarrow \forall Prover : P(Verifier^{Prover}(x)) \le 1/3</tex>.
+
# <tex>\langle \varphi, k \rangle \notin \mathrm{\#SAT} \Rightarrow \forall \mathit{Prover} : P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \le 1/3</tex>.
 +
 
 +
Докажем эти утверждения.
  
Из построения ''Verifier'' 'а видно, что он работает за <tex>O(poly(|input|))</tex>.
+
#Первый факт следует из построения ''Verifier'' 'а.
 +
#По [[Арифметизация булевых формул с кванторами | лемме (2)]], если <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1  A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>, то условия (*) выполнятются, следовательно существует такой ''Prover'', что <tex>P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle\phi,k\rangle)) = 1</tex>, для любой пары <tex>\langle\phi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.
 +
#Пусть количество наборов, удовлетворяющих <tex>\phi</tex>, не равно <tex>k</tex>. Для того, что бы ''Verifier'' вернул '''true''', ''Prover'' 'у необходимо посылать такие <tex>A_i</tex>, чтобы выполнялись все проверяемые условия. Посмотрим на то, что он может послать:
 +
:'''Шаг 0'''
 +
:Так как количество наборов, удовлетворяющих <tex>\phi</tex>, не равно <tex>k</tex>, то ''Prover'' не может послать правильное <tex>A_0</tex>, поскольку в этом случае не выполнится условие <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex>. Поэтому он посылает не <tex>A_0</tex>, а некое <tex>\tilde{A}_0</tex>.
 +
:<tex>\ldots</tex>
 +
:'''Шаг i'''
 +
:Заметим, что если на каком-то шаге <tex>A_{i-1}(r_i) = \tilde{A}_{i-1}(r_i)</tex>, то начиная со следующего шага ''Prover'' может посылать правильные <tex>A_j</tex> и в итоге ''Verifier'' вернёт '''true'''.
 +
:Для некоторого случайно выбранного <tex>r_i</tex> вероятность того, что <tex>A_{i-1}(r_i) = \tilde{A}_{i-1}(r_i)</tex>, то есть <tex>r_i</tex> — корень полинома <tex>(A_{i-1} - \tilde{A}_{i-1})(r_i)</tex>, имеющего степень не больше <tex>d</tex>, не превосходит <tex>\frac{d}{p}</tex>.
 +
:<tex>\ldots</tex>
 +
:'''Шаг m'''
 +
:Так как на последнем шаге ''Verifier'' полученным от ''Prover'' значение с непосредственно вычисленным, слово будет допущено только в том случае, когда ''Prover'' смог прислать верное значение, что в свою очередь возможно лишь если на одном из предыдущих шагов был верно угадан корень полинома.
 +
:
 +
:Вычислим вероятность того, что хотя бы раз корень был угадан.
 +
:<tex>P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) = 1 - (1 - \frac d p)^m \le 1 - (1 - \frac d {3dm})^m \le \frac 1 3</tex>.
 +
:В последнем переходе мы воспользовались [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора формулой Тейлора] для логарифма и экспоненты, а также тем, что <tex>m>0</tex>.
  
 +
Таким образом, построенный нами ''Verifier'' корректен, а значит лемма доказана.
 
}}
 
}}
  
Строка 70: Строка 90:
 
|statement=<tex>\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}</tex>.
 
|statement=<tex>\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Сведём язык <tex>TAUT</tex> к языку <tex>\#SAT</tex> следующим образом: <tex>\phi \mapsto \langle \phi, 2^k \rangle </tex>, где <tex>k</tex> — количество различных переменных в формуле <tex>\phi</tex>.
+
Сведём язык <tex>\mathrm{TAUT}</tex> к языку <tex>\mathrm{\#SAT}</tex> следующим образом: <tex>\phi \mapsto \langle \phi, 2^k \rangle </tex>, где <tex>k</tex> — количество различных переменных в формуле <tex>\phi</tex>.
  
Очевидно, что <tex>\phi \in TAUT \iff \langle \phi, 2^k \rangle \in \#SAT</tex>.
+
Очевидно, что <tex>\phi \in \mathrm{TAUT} \Leftrightarrow \langle \phi, 2^k \rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.
  
По лемме (2) <tex>\#SAT \in \mathrm{IP}</tex>. Тогда <tex>TAUT \in \mathrm{IP}</tex>. Так как <tex>TAUT \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}</tex>.
+
По лемме (2) <tex>\mathrm{\#SAT} \in \mathrm{IP}</tex>. Тогда <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{IP}</tex>. Так как <tex>\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория: Теория сложности]]
 
[[Категория: Теория сложности]]

Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!


Определение:
[math]\mathrm{\#SAT}=\{\langle \varphi, k \rangle \bigm| \varphi[/math] имеет ровно [math]k[/math] удовлетворяющих наборов [math]\}[/math].


Лемма (1):
[math]\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k \Leftrightarrow \langle\phi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Следует из леммы (1).
[math]\triangleleft[/math]


Лемма (2):
[math]\mathrm{\#SAT} \in \mathrm{IP}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства леммы построим программы Verifier и Prover из определения класса [math]\mathrm{IP}[/math].

Сперва арифметизуем формулу [math]\phi[/math]. Пусть полученный полином [math]A(x_1, x_2, ..., x_m)[/math] имеет степень [math]d[/math].

По лемме (1) вместо условия [math]\langle \phi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT}[/math], можно проверять условие [math]\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k[/math].

Приступим к описанию Verifier'а.

Шаг 0

Если [math]d=0[/math] или [math]m=0[/math], то Verifier может проверить указанное выше условие сам и вернуть соответствующий результат. Иначе запросим у Prover'а такое простое число [math]p[/math], что [math]3dm \le p \le 6dm[/math] (такое [math]p[/math] существует в силу постулата Бертрана). Проверим [math]p[/math] на простоту и на принадлежность заданному промежутку. Как мы знаем, [math]\mathrm{Primes} \in \mathrm{P}[/math], следовательно на эти операции у Verifier'а уйдёт полиномиальное от размера входа время.

Далее будем проводить все вычисления модулю [math]p[/math].

Попросим Prover 'а прислать Verifier 'у формулу [math]A_0(x_1)= \sum\limits_{x_2 = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(x_1, x_2, ..., x_m)[/math]. Заметим, что размер формулы [math]A_0(x_1)[/math] будет полином от длины входа Verifier 'а, так как [math]A_0(x_1)[/math] — полином степени не выше, чем [math]d[/math], от одной переменной, а значит его можно представить в виде [math]A_0(x) = \sum\limits_{i = 0}^{d} C_i \cdot x ^ i[/math].

Проверим следующее утверждение: [math]A_0(0) + A_0(1) = k[/math] (*) (здесь и далее под словом «проверим» будем подразумевать следующее: если утверждение верно, Verifier продолжает свою работу, иначе он прекращает свою работу и возвращет false).

Шаг i

Пусть [math]r_i = random(0..p-1)[/math]. Отправим [math]r_i[/math] программе Prover.

Попросим Prover 'а прислать Verifier 'у формулу [math]A_i(x_{i+1}) = \sum\limits_{x_{i+2} = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(r_1,\ldots, r_i, x_{i+1}, ..., x_m)[/math].

Проверим следующее утверждение: [math]A_i(0) + A_i(1) = A_{i-1}(r_i)[/math] (*).

Шаг m

Пусть [math]r_m = random(0..p-1)[/math]. Отправим [math]r_m[/math] программе Prover.

Попросим программу Prover прислать Verifier 'у значение [math]A_m()= A(r_1, r_2, ..., r_m)[/math].

Проверим следующее утверждение: [math]A_m() = A_{m-1}(r_m)[/math] (*). А также сами подставим [math]r_1, r_2, ..., r_m[/math] в [math]A(x_1, x_2, ..., x_m)[/math] и проверим правильность присланного значения [math]A_m()[/math].

Возвращаем true.

Докажем теперь, что построенный таким образом Verifier — корректный. Для этого нужно доказать следующие утверждения:

  1. Построенный Verifier - вероятностная машина Тьюринга, совершающая не более полинома от длины входа действий.
  2. [math]\langle \varphi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT} \Rightarrow \exists \mathit{Prover} : P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \ge 2/3[/math].
  3. [math]\langle \varphi, k \rangle \notin \mathrm{\#SAT} \Rightarrow \forall \mathit{Prover} : P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) \le 1/3[/math].

Докажем эти утверждения.

  1. Первый факт следует из построения Verifier 'а.
  2. По лемме (2), если [math]\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k[/math], то условия (*) выполнятются, следовательно существует такой Prover, что [math]P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle\phi,k\rangle)) = 1[/math], для любой пары [math]\langle\phi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}[/math].
  3. Пусть количество наборов, удовлетворяющих [math]\phi[/math], не равно [math]k[/math]. Для того, что бы Verifier вернул true, Prover 'у необходимо посылать такие [math]A_i[/math], чтобы выполнялись все проверяемые условия. Посмотрим на то, что он может послать:
Шаг 0
Так как количество наборов, удовлетворяющих [math]\phi[/math], не равно [math]k[/math], то Prover не может послать правильное [math]A_0[/math], поскольку в этом случае не выполнится условие [math]A_0(0) + A_0(1) = k[/math]. Поэтому он посылает не [math]A_0[/math], а некое [math]\tilde{A}_0[/math].
[math]\ldots[/math]
Шаг i
Заметим, что если на каком-то шаге [math]A_{i-1}(r_i) = \tilde{A}_{i-1}(r_i)[/math], то начиная со следующего шага Prover может посылать правильные [math]A_j[/math] и в итоге Verifier вернёт true.
Для некоторого случайно выбранного [math]r_i[/math] вероятность того, что [math]A_{i-1}(r_i) = \tilde{A}_{i-1}(r_i)[/math], то есть [math]r_i[/math] — корень полинома [math](A_{i-1} - \tilde{A}_{i-1})(r_i)[/math], имеющего степень не больше [math]d[/math], не превосходит [math]\frac{d}{p}[/math].
[math]\ldots[/math]
Шаг m
Так как на последнем шаге Verifier полученным от Prover значение с непосредственно вычисленным, слово будет допущено только в том случае, когда Prover смог прислать верное значение, что в свою очередь возможно лишь если на одном из предыдущих шагов был верно угадан корень полинома.
Вычислим вероятность того, что хотя бы раз корень был угадан.
[math]P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle \varphi, k \rangle)=1) = 1 - (1 - \frac d p)^m \le 1 - (1 - \frac d {3dm})^m \le \frac 1 3[/math].
В последнем переходе мы воспользовались формулой Тейлора для логарифма и экспоненты, а также тем, что [math]m\gt 0[/math].
Таким образом, построенный нами Verifier корректен, а значит лемма доказана.
[math]\triangleleft[/math]


Лемма (3):
[math]\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Сведём язык [math]\mathrm{TAUT}[/math] к языку [math]\mathrm{\#SAT}[/math] следующим образом: [math]\phi \mapsto \langle \phi, 2^k \rangle [/math], где [math]k[/math] — количество различных переменных в формуле [math]\phi[/math].

Очевидно, что [math]\phi \in \mathrm{TAUT} \Leftrightarrow \langle \phi, 2^k \rangle \in \mathrm{\#SAT}[/math].

По лемме (2) [math]\mathrm{\#SAT} \in \mathrm{IP}[/math]. Тогда [math]\mathrm{TAUT} \in \mathrm{IP}[/math]. Так как [math]\mathrm{TAUT} \in \mathrm{coNPC}[/math], то [math]\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}[/math].
[math]\triangleleft[/math]