Сложностный класс BPP

Определение класса PP

Классом [math]\mbox{PP}[/math] (от англ. probabilistic, polynomial) называется множество языков, для которых существует вероятностная машина Тьюринга такая, что вероятность того, что ее выходное значение совпадает с принадлежностью входа данным языкам больше [math]\frac{1}{2}[/math] и время ее работы ограничено полиномом от длины входа. [math]\mbox{PP} = \{L | \exists m : \mbox{T}(m,x) = poly(|x|), \mbox{P}(m(x) = [x \in L]) \gt \frac{1}{2} \}[/math] В этом определениях [math]m[/math] - это вероятностная машина Тьюринга.

Но это очень широкий класс, поэтому вводится класс [math]\mbox{BPP}[/math].

Определение класса BPP

Классом [math]\mbox{BPP}[/math] (от англ. bounded-error, probabilistic, polynomial) называется множество языков, для которых существует вероятностная машина Тьюринга такая, что вероятность того, что ее выходное значение совпадает с принадлежностью входа данным языкам больше [math]\frac{2}{3}[/math] и время ее работы ограничено полиномом от длины входа. [math]\mbox{BPP} = \{L | \exists m : \mbox{T}(m,x) = poly(|x|), \mbox{P}(m(x) = [x \in L]) \gt \frac{2}{3} \}[/math] , где [math]m[/math] - вероятностная машина Тьюринга.

Очевидно, класс [math]\mbox{BPP} \in \mbox{PP}[/math].

Также существуют два эквивалентных определения [math]BPP[/math]:

• [math]\mbox{BPP}_{weak} = \{L | \exists m : \mbox{T}(m,x) = poly(|x|), \mbox{P}(m(x) = [x \in L]) \gt \frac{1}{2} + 1/p(|x|)\}[/math], где [math]m[/math] - ВМТ, а [math]p(|x|): \forall x ~ p(|x|) \gt 2[/math] - полином.
• [math]\mbox{BPP}_{strong} = \{L | \exists m : \mbox{T}(m,x) = poly(|x|), \mbox{P}(m(x) = [x \in L]) \gt 1 - 2^{-p(|x|)}\}[/math], где [math]m[/math] - ВМТ, а [math]p(|x|)[/math] - полином.

Число [math]\frac{2}{3}[/math] в определении выбрано произвольно: если вместо него выбрать любое число, строго большее [math]\frac{1}{2}[/math], то получится тот же самый класс. Это верно, поскольку если есть машина Тьюринга, распознающая язык с вероятностью ошибки [math]p[/math], то точность можно сколь угодно хорошо улучшить за счёт относительно небольшого прироста времени. Если мы запустим машину [math]k=|x|[/math] раз подряд, а в качестве результата возьмём результат большинства запусков, то вероятность ошибки упадёт до [math]\left(2 \sqrt{p(1-p)} \right)^k[/math], а время останется равным [math]poly(|x|)[/math]. Здесь [math]k[/math] запусков машины рассматриваются как схема Бернулли с [math]k[/math] испытаниями и вероятностью успеха [math]1-p[/math], а формула, выражающая ошибку, — вероятность неудачи не менее чем в половине случаев. Если теперь запустить машину [math]k^{2}[/math] раз подряд, то время все еще будет [math]poly(|x|)[/math], а вероятность ошибки упадёт до [math]\left(2 \sqrt{p(1-p)} \right)^{k^2}[/math]. Таким образом, с ростом показателя многочлена, оценивающего время, точность растёт экспоненциально, и можно достичь любого нужного значения.