1632
правки
Изменения
м
Очевидным образом по такому определению строится полный двудольный граф (левая доля - мужчины, правая - женщины), назовем его МЖ.
Рассмотрим некоторое паросочетание в МЖ. Пара Ab называется неустойчивой, если:# В паросочетании есть пары Aa и Bb Очевидным образом по такому определению строится [[Двудольные_графы| полный двудольный граф]] (A женат на aлевая доля — мужчины, B женат на bправая — женщины)# A считает b привлекательней, чем a# b считает A привлекательней, чем B(неформально это означает потенциальную возможность измены)назовем его МЖ.
{{ОпределениеРассмотрим некоторое [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|definition=Устойчивое паросочетание - паросочетание без неустойчивых пар]]в МЖ.}}
Задача заключается в нахождении полного устойчивого паросочетания по данным спискам предпочтений.== Алгоритм Гейла-Шепли ==
== Агоритм Гейла-Шепли == Решение задачи было описано в <tex>1962 </tex> году математиками Девидом Гейлом (Университета Университет Брауна) и Ллойдом Шепли (Принстонский университет) в статье «Поступление в колледж и стабильность браков» (College admissions and the stability of marriage) в журнале American texematical Mathematical Monthly<ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/American_Mathematical_Monthly American Mathematical Monthly 69, 9-14, 1962.</ref>. Набор правил, следование которым всегда приводит к образованию стабильных пар, получил название алгоритма Гейла-Шепли или «алгоритма отложенного согласия» (алгоритм предложи-и-откажи).
<font color="green">// Изначально все мужчины не женаты и все женщины не женаты (не замужем)незамужние.</font> '''while''' Существует m <- существует свободный мужчина M = некоторый свободный мужчина, не делавший предложения всем женщинам w <- = первая женщина из текущего списка m, которой m еще не делал предложенияM '''if''' w свободна помечаем m M и w помолвленными '''else if''' w предпочитает m M своему "текущему" жениху mM' помечаем m M и w помолвленными, m вычёркиваем w из списка предпочтений M' помечаем M' - свободным '''else''' вычёркиваем w отказывает mиз списка предпочтений M Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n^2)</tex>, так как количество итераций цикла <tex>\mathrm {while}</tex> не превосходит <tex>O(n^2)</tex>, где <tex>n</tex> равно размеру каждого из данных множеств.
1. Предположим, что некоторый мужчина, Ян, (<tex>A</tex>) не женат по завершении алгоритма. 2. Тогда и некоторая женщина, Антонина не замужем 3(<tex>a</tex>) незамужняя. По [[#observation2|наблюдению <tex>2</tex>]], Антонине никто <tex>a</tex> не делал получала предложений. Но <tex>A</tex> сделал предложениявсем женщинам, так как он остался не женат. Получаем противоречие. Таким образом, все мужчины заняты.
4Аналогичные рассуждения применяем для женщин. Пусть какая-то женщина незамужняя. Но Ян сделал предложения всем женщинамЗначит, есть мужчина, т.к. он который остался не женат 5. Получаем противоречие 6. Аналогичные утверждения можно повторить и отталкиваясь от тогоНо мы доказали, что не занята некоторая девушка, поэтому предложение доказанопо завершении алгоритма все мужчины заняты. Снова пришли к противоречию.
Нет После завершения алгоритма не будет неустойчивых пар.
1. Предположим <tex>\langle A-, b \rangle</tex> (где <tex>A</tex>, <tex>B - </tex> — мужчины; <tex>a</tex>, <tex>b - </tex> — женщины; <tex>A </tex> женат на <tex>a</tex>, <tex>B </tex> женат на <tex>b</tex>) - — нестабильная пара в паросочетнаиипаросочетании, найденном алгоритмом Гейла-Шепли 2. Рассмотрим Возможны два случая: 2.1. # <tex>A </tex> не делал предложения предложение <tex>b =</tex>. Значит, <tex> A </tex> находит <tex>a </tex> более привлекательной, чем <tex>b =</tex>. Но чтобы рассматриваемая пара была неустойчивой, необходимо, чтобы <tex>b</tex> для <tex>A</tex> была более привлекательна, чем <tex>a</tex>. Следовательно, <tex> \langle A-, b - \rangle</tex> — устойчивая пара. 2.2. # <tex>A </tex> делал предложение <tex>b =</tex>. Тогда был такой момент, когда <tex> b </tex> отказала <tex>A (сразу или на одной из последующих итераций) =</tex>, значит, <tex> b </tex> находит <tex>B </tex> более привлекательным, чем <tex>A =</tex>. Снова получается, что <tex> \langle A-, b - \rangle</tex> — устойчивая пара.
=== Ассимптотика алгоритма ===
Не представляет проблемы реализовать внутренний цикл while за <tex>O(1)</tex> (с предварительным предпроцессингом не более, чем за <tex>O(n^2)</tex>). Таким образом, итоговая асимптотика составляет O(n^2).
Агоритм Алгоритм Гейла-Шепли гарантирует, что будет найдено некоторое решение задачи. Но решений может быть более одного. Зададимся вопросом, какими свойствами обладает решение, найденное алгоритмом.
Эти две леммы оставим без доказательства, интересющиеся могут обратится к документу http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring05/cos423/lectures/01stable-matching.pdf (с.5)
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition =
Пара <tex>\langle A, b\rangle</tex> называется '''неустойчивой''' (англ. ''unstable pair''), если:
# В паросочетании есть пары <tex>\langle A, a\rangle</tex> и <tex>\langle B, b\rangle</tex> (<tex>A</tex> женат на <tex>a</tex>, <tex>B</tex> женат на <tex>b</tex>);
# <tex>A</tex> предпочитает <tex>b</tex> элементу <tex>a</tex>;
# <tex>b</tex> предпочитает <tex>A</tex> элементу <tex>B</tex>.
}}
{{Определение
|definition='''Устойчивое паросочетание''' (англ. ''stable matching'') — [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях| паросочетание]] без неустойчивых пар.
}}
{{Задача
|definition=
Найти полное устойчивое паросочетание между элементами двух множеств размера <tex>n</tex>, имеющими свои предпочтения.}}
== Основная задача ==
Есть N <tex>n</tex> мужчин и N <tex>n</tex> женщин. Они обладают следующими особенностями:# Каждый человек оценивает лишь людей противоположного пола (все гетеросексуальны);# Каждый мужчина может отсортировать женщин от "''наименее привлекательной" '' к "''наиболее привлекательной"'', причем его предпочтения не меняются(у каждого мужчины своя функция оценки);# Каждая женщина может отсортировать мужчин от "''наименее привлекательного" '' к "''наиболее привлекательному"'', причем её предпочтения не меняются(у каждой женщины своя функция оценки).
=== Интуитивное описание ===
# мужчины Мужчины делают предложение наиболее предпочитаемой женщине;.# каждая Каждая женщина из всех поступивших предложений выбирает наилучшее и отвечает на него «может быть» (помолвка), на все остальные отвечает «нет» (отказ).# мужчиныМужчины, получившие отказ, обращаются к следующей женщине из своего списка предпочтений, мужчины, получившие ответ «может быть», ничего не делают;.# если Если женщине пришло предложение лучше предыдущего, то она прежнему претенденту (которому ранее сказала «может быть») говорит «нет», а новому претенденту говорит «может быть»;.# шаги Шаги <tex>1</tex>-<tex>4 </tex> повторяются, пока у всех мужчин не исчерпается список предложений, в этот момент женщины отвечают «да» на те предложения «может быть», которые у них есть в настоящий момент.
=== Описание в псевдокоде ===
=== Доказательство корректности ===
{{Утверждение
|id=observation1
|about=Наблюдение <tex>1</tex>|statement=Мужчины делают предложения женщинам в порядке убывания симпатии.
}}
{{Утверждение
|id=observation2
|about=Наблюдение <tex>2</tex>|statement=Как только женщина была помолвлена, она не может стать непомолвленной, она может только улучшить свой выбор (сказать «может быть» более предпочтительному кандидату).
}}
{{Лемма
|id=lemma1
|about=Лемма <tex>1</tex>
|statement=
Алгоритм завершается после максимум <tex>n^2 </tex> итераций цикла '''<tex>\mathrm{\mathbf{while'''}}</tex>.
|proof=
На каждой итерации мужчина делает предложение очередной женщине. Но всего может быть не более <tex>n^2 </tex> предложений.
}}
{{Лемма
|id=lemma2
|about=Лемма <tex>2</tex>
|statement=
Все мужчины и женщины будут заняты.
|proof=
}}
{{Лемма
|id=lemma3
|about=Лемма <tex>3</tex>
|statement=
|proof=
}}
=== Анализ полученного алгоритмом паросочетания ===
{{Лемма
|id=lemma4
|about=Лемма 4 (man-optimality)
|statement=
Из всех возможных решений алгоритмом Гейла-Шепли будет найдено решение, наилучшее для мужчин (каждый мужчина получает в жены женщину, наилучшую из всех возможных при условии корректности решения).
|proof=
Докажем от противного, что для каждого мужчины не существует устойчивого паросочетания, в котором его супругой была бы более желанная для него женщина.
Предположим, для мужчины <tex>A</tex> это свойство не выполняется. Так как он оказался женат не на лучшей из кандидатур, то существует женщина <tex>a</tex>, которая предпочла ему другого, более привлекательного мужчину <tex>B</tex>, при этом женщина <tex>a</tex> для мужчины <tex>B</tex> стоит на первом месте в его текущем списке. Предположим, существует устойчивое паросочетание, содержащее <tex>\langle A, a\rangle</tex>. По определению, в устойчивом паросочетании нет неустойчивых пар. Пара <tex>\langle B, a\rangle</tex> станет неустойчивой, если <tex>B</tex> будет предпочитать <tex>a</tex> своей супруге. Значит, <tex>B</tex> женат на ком-то, кто лучше, чем <tex>a</tex>. Но такое невозможно, так как <tex>a</tex> стоит для него на первом месте. Таким образом, если женщина <tex>a</tex> вычёркивается из списка предпочтений мужчины <tex>A</tex>, то любое паросочетание, содержащее <tex>\langle A, a\rangle</tex>, неустойчиво.
}}
{{Лемма
|id=lemma5
|about=Лемма 5 (woman-pessimality)
|statement=
Из всех возможных решений алгоритмом Гейла-Шепли будет найдено решение, наихудшее для женщин.
|proof=
Пусть <tex>A</tex>, <tex>B</tex> — мужчины; <tex>c</tex>, <tex>d</tex> — женщины; <tex>A</tex> женат на <tex>d</tex>, <tex>B</tex> женат на <tex>c</tex>.
Предположим, <tex>\langle A, c\rangle</tex> — стабильная пара в паросочетании <tex>S'</tex>, найденном алгоритмом Гейла-Шепли, но <tex>A</tex> не самый худший выбор для <tex>c</tex>. Тогда существует стабильная пара в паросочетании <tex>S</tex>, в которой <tex>c</tex> замужем за <tex>B</tex>, который менее привлекателен, чем <tex>A</tex>. Тогда пусть мужем <tex>d</tex> будет <tex>A</tex> в паросочетании <tex>S</tex>. Получается <tex>A</tex> считает <tex>c</tex> более привлекательной, чем <tex>d</tex>. Соответственно <tex>\langle A, c\rangle</tex> {{---}} нестабильная пара в паросочетании <tex>S</tex>. То есть для <tex>c</tex> есть мужчина, который более привлекателен, чем её муж.
}}
== Обобщения задачи ==
Интересно, что данная задача не всегда имеет решение, если допустить однополые пары (устойчивого паросочетания может не быть)<ref>https://ru. (смwikipedia. org/wiki/Задача_о_соседях_по_комнате Задача о соседях по комнате)</ref>.
Случай же, когда у нас есть <tex>N</tex> мужчин и <tex>M</tex> женщин (<tex>N \neq M</tex>) легко сводится к описанной выше задаче. Рассмотрим <tex>M > N</tex> (<tex>M < N</tex> аналогично). Добавим <tex>M - N</tex> фиктивных мужчин, которые являются наименее привлекательными с точки зрения каждой из женщин. Тогда если в найденном алгоритмом Гейла-Шепли паросочетании некоторая женщина будет замужем за таким фиктивным мужчиной, то это будет де-факто означать, что она на самом деле осталась не замужембез пары.
Также интересна задача о выборе учебного заведения: вместо множества мужчин введем множество университетов, а вместо множества женщин - — множество кандидатов, подающих заявления на поступление. Причем в каждом университете есть квота на количество студентов, которое университет может принять. Задача очевидна очевидно сводится к основной добавлением <tex>(K-1)</tex> "филиалов" для каждого университета (<tex>K</tex> - — квота). И добавлением фиктивного увниерситета университета (поступление в который означает, что кандидату придется попробовать поступить через год).
== Применения в реальной жизни ==
* Распределение донорских органов по нуждающимся в них людям
Решение данной задачи было отмечено при вручении Нобелевской премии по экономике в <tex>2012 </tex> году за «теорию стабильного распределения и практическое применение рыночных моделей». Её получили один из создателей алгоритма, Ллойд Шепли, а также Элвин Рот, во многом развивший исследования Ллойда Шепли и Дэвида Гейла. Сам Гейл не был удостоен премии, вероятно, лишь в силу того, что умер в <tex>2008 </tex> году. == Примечания ==<references/> == См. также ==* [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|Паросочетания]]== Источники информации == * [http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spring05/cos423/lectures/01stable-matching.pdf Stable matching, Prinston lecture's presentation]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem Stable marriage problem]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%80%D1%8C%D1%8F%D0%B6%D0%B5 Задача о марьяже]* [http://ge.tt/api/1/files/4LU3zaD1/0/blob?download Устойчивость супружеских пар и другие комбинаторные задачи (Статья Дональда Кнута)]* [http://kek.ksu.ru/eos/Lerner/KnuthRu.pdf Устойчивость супружеских пар и другие комбинаторные задачи - Казанский государственный университет] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Задача о паросочетании]]
