1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
Определим операции, которые мы будем применять к динамическому массиву:<br>
=== get(i) ===
:Возвращает значение <tex>i</tex>-ой ячейки массива. Время выполнения — {{---}} <tex>O(1)</tex>.
=== set(i,x) ===
:В <tex>i</tex>-ую ячейку массива записывается элемент <tex>x</tex>. Время выполнения — {{---}} <tex>O(1)</tex>.
=== add(x) ===
:Добавление в массив элемента <tex>x</tex>. Время выполнения — {{---}} <tex>O(1)</tex>; в худшем случае, при котором необходимо перенести все элементы из текущего массива в во вдвое больший массив — {{---}} <tex>O(n)</tex> (<tex>n</tex> — {{---}} размер массива).
=== del() ===
:Удаляет последний элемент массива. В случае, если кол-во количество элементов в массиве в <tex>C</tex> раз меньше его длины, то происходит сжатие в <tex>B</tex> раз. (<tex>C,B</tex> — {{---}} константы, зависящие от реализации). Время выполнения операции в худшем случае — {{---}} <tex>O(n)</tex>.
=== size() ===
:Возвращает количество элементов массива. Время выполнения — {{---}} <tex>O(1)</tex>.
== Амортизационная стоимость каждой операции ==
==== Стоимость операции add(x) ====
[[Файл:Безымянный1.png|400px|thumb|right|Иллюстрация]]
Пусть у нас единицей стоимости операции является одна монетка. Тогда при каждой операции '''add(x)''', при которой нам не требуется копирование, мы будем использовать три монетки. Из них одна пойдёт на стоимость самой этой операции, а две будут в резерве (пусть, если мы добавили <tex>i</tex>-ый элемент, мы будем класть по одной монетке к элементам с номерами <texdpi=150>i</tex> и <texdpi=150>i-\frac{n}{2}</tex>). В итоге, к тому моменту, как массив будет заполнен, рядом с каждым элементом будет лежать по одной монетке, которую мы и можем использовать на его копирование в новый массив. Таким образом, амортизационная стоимость каждой операции '''add(x)''' {{---}} <tex>3</tex>, и среднее время её работы {{---}} <tex>O(1)</tex>.
==== Стоимость операции del() ====
При каждой операции будем использовать три две монетки. Одну из них потратим на само удаление элемента, одну монету другую на элемент, стоящий на позиции <tex>i-\fracbmod \dfrac{n}{4}</tex>, и одну монетку на место удаленного элемента. Тогда даже в самом худшем случае (только что расширились, а потом <tex>\fracdfrac{n}{4}</tex> удалили) у нас каждого элемента из первых <tex>\dfrac{n}{4}</tex> будет хватать денег по монете и на копирование в новый массивудаление надо будет потратить только <tex>1</tex> монету.
=== Метод потенциалов ===
За потенциал примем число:
2s-c, & \text{if } s\geqslant\frac{1}{2}c \\
\frac{1}{2}c-s, & \text{if } s<\frac{1}{2}c
\end{cases}</tex> , где <tex>c</tex> {{---}} размер массива, <tex>s</tex> {{---}} число элементов массива.
==== Стоимость операции '''add(x)''' ====
* <tex dpi=150>\frac{s}{c}<\frac{1}{2}, \frac{s+1}{c}\geqslant\frac{1}{2}</tex>, массив не расширяется:
<tex dpi=150>a_i = t_i + \Phi(c, s+1)-\Phi(c, s)= 1 +(2(s+1)-c)-(\frac{1}{2}c - s)= 3+s3s-\frac{3}{2}c= 3 + \frac{s}{c}c3c-\frac{3}{2}c <3+\frac{3}{2}c-\frac{3}{2}c=3</tex>
* <tex dpi=150>\frac{s}{c}<\frac{1}{2}, \frac{s+1}{c}<\frac{1}{2}</tex>, массив не расширяется: <tex dpi=150>a_i = t_i + \Phi(c, s + 1) - \Phi(c, s) = 1 + (\frac{1}{2}c - (s + 1)) - (\frac{1}{2}c - s) = 0</tex>
* <tex dpi=150>\frac{1}{4}<\frac{s}{c}<\frac{1}{2}</tex>, массив не сужается: <tex dpi=150>a_i = t_i + \Phi(c, s - 1) - \Phi(c, s) = 1 + (\frac{1}{2}c-(s-1))-(\frac{1}{2}c-s)= 2</tex>
* <tex dpi=150>\frac{s}{c}\geqslant\frac{1}{2}, \frac{s-1}{c}<\frac{1}{2}\Rightarrow s=\frac{1}{2}c</tex>, массив не сужается: <tex dpi=150>a_i = t_i + \Phi(c, s - 1) - \Phi(c, s) =1 +(\frac{1}{2}c-(s-1))-(2s-c)=2+\frac{3}{2}c-3s = 2</tex>
* <tex dpi=150>\frac{s}{c}>\frac{1}{2}</tex>, массив не сужается: <tex dpi=150>a_i = t_i + \Phi(c, s - 1) - \Phi(c, s) = 1 + (2(s-1)-c)-(2s-c)=30</tex>
Средняя стоимость операции — {{---}} <tex>2</tex>, а среднее время работы — {{---}} <tex>O(1)</tex>.
==Динамические массивы в современных языках программирования==
==Источники информации==
* [[wikipedia:Dynamic_array | Wikipedia {{---}} Dynamic array]]
* [[wikipedia:ru:Динамический_массив | Wikipedia {{---}} Динамический массив]]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Амортизационный анализ]]
