Изменения

В нормальной форме нет редукций. Если нормальная форма существует, то её можно достичь при помощи редукций [[#Нормальный порядок редукции|нормальным порядком]], а [[#Аппликативный порядок редукции|аппликативным ]] можно и не достичь.

== A2. Закодировать типы по Чёрчу (с взаимной рекурсией) через <tex> \mu </tex> - комбинатор ==

Mice' = mu y . \ x . \ a . (y x a) <tex> \times </tex> (x y a a) | + (y x a) <tex> \times </tex> a

* [[АВЛ-дерево]]: [http://pastie.org/private/qbiu60aetjm9zrpqzrow ссылка на pastie]*: почему я не знал Haskell, когда это дерево было в лабе по дискретке на первом курсе? ;( просто списывается с конспекта один в один...* [[Квадродеревья | Квадродерево]]: [http://pastiepastebin.org/privatecom/sf1vdmrpe7ifvqgdongwq jV4DeRvv ссылка на pastiepastebin]

 ==Primitive====Натуральные числа=Nat=== data Nat (+.) (-.) (*.)  divides :: Nat -> Nat -> Bool ===Rat=== Zero | Succ Nat deriving data Rat (%+) (%-) (%*) (Show%/)  euler :: ? ==List== ===Угадайка===Дают тип,Readнадо написать название функции из '''List.hs''' и реализовать её. ===Комбинаторика=== '''Тут можно использовать только набор заранее определённых функций листа( среди которых нет даже ''++'' ) <font color'''  subsequences :: [a] -> [ [ a ] ]  permutations :: [a] -> [ [ a ] ] ==Algebra=green= class Monoid a where mempty :: a mappend :: a ->a -> a class Monoid a => Group a where ginv :: a - Определение натуральных чисел</font>a natZero mconcat :: (Monoid a) = Zero <font color=green>List a -- 0</font>a mconcat = foldr mappend mempty instance Monoid Unit where mempty = Unit mappend _ _ = Unit natOne instance Group Unit where ginv _ = Succ Zero <font colorUnit instance (Monoid a, Monoid b) =green>Monoid (Pair a b) where mempty = Pair mempty mempty mappend a b = Pair {fst = fst a `mappend` fst b, snd = snd b `mappend` snd b} instance (Monoid a) => Monoid (Maybe a) where mempty = Just mempty mappend (Just a) (Just b) = Just $ mappend a b mappend _ _ = Nothing newtype First a = First { getFirst :: Maybe a} instance Monoid (First a) where mempty = First Nothing mappend (First Nothing) x = x mappend x _ = x newtype Last a = Last { getLast :: Maybe a} instance Monoid (Last a) where mempty = Last Nothing mappend x (Last Nothing) = x mappend _ x = x newtype Any = Any { getAny :: Bool } instance Monoid Any where mempty = Any False mappend (Any a) (Any b) = Any $ a || b newtype All = All { getAll :: Bool } instance Monoid All where mempty = All True mappend (All a) (All b) = All $ a && b -- 1</font>Лексикографическое сравнение instance Monoid Tri where mempty = EQ mappend LT _ = LT mappend EQ a = a mappend GT _ = GT newtype Sum a = Sum { getSum :: a } instance Monoid (Sum Nat) where mempty = Sum natZero mappend (Sum a) (Sum b) = Sum $ a +. b newtype Product a = Product { getProduct :: a }

natCmp :: instance Monoid (Product Nat -> Nat -> Tri <font color=green>-- Сравнивает два натуральных числа</font> natCmp Zero Zero = EQ natCmp Zero (Succ _) = LTwhere natCmp (Succ _) Zero mempty = GTProduct natOne natCmp mappend (Succ nProduct a) (Succ mProduct b) = natCmp n mProduct $ a *. b

natEq :: Nat -> Nat -> Bool <font color=green>-- n совпадает с m</font> natEq Zero Zero = True natEq Zero instance Monoid (Succ _Sum Int) = Falsewhere natEq (Succ _) Zero mempty = FalseSum intZero natEq mappend (Succ nSum a) (Succ mSum b) = natEq n mSum $ a .+. b

natLt :: Nat -> Nat -> Bool <font color=green>-- n меньше m</font> natLt Zero Zero = False natLt Zero instance Group (Succ mSum Int) = Truewhere natLt (Succ n) Zero = False natLt (Succ n) (Succ m) ginv = natLt n mSum . intNeg . getSum

infixl 6 +. <font color=green>-- Сложение для натуральных чисел</font> instance Monoid (+.Product Int) :: Nat -> Nat -> Natwhere Zero +. m mempty = mProduct intOne mappend (Succ nProduct a) +(Product b) = Product $ a . m = Succ (n +*. m)b

infixl 6 -. <font color=green>-- Вычитание для натуральных чисел</font> instance Monoid (-.Sum Rat) :: Nat -> Nat -> Nat Zero -. _ = Zerowhere n -. Zero mempty = nSum ratZero mappend (Succ nSum a) -. (Succ mSum b) = n -. mSum $ a %+ b

infixl 7 *. <font color=green>-- Умножение для натуральных чисел</font> instance Group (*.Sum Rat) :: Nat -> Nat -> Nat Zero *. m = Zerowhere (Succ n) *. m ginv = m +Sum . (n *ratNeg . m)getSum

natDivMod :: Nat -> Nat -> Pair Nat Nat <font color=green>-- Целое и остаток от деления n на m</font>instance Monoid (Product Rat) where natDivMod n m mempty =Product ratOne if mappend (n natLt mProduct a) then Pair Zero n else Pair (Succ divProduct b) mod where Pair div mod = ((n -. m) natDivMod m)Product $ a %* b

natDiv n instance Group (Product Rat) where ginv = fst Product . ratInv . natDivMod n <font colorgetProduct instance Monoid (List a) where mempty = Nil mappend =green>-- Целое</font>(++)  natMod n = snd . natDivMod n <font color=green>-- Остаток</font>Categories==

class Category cat where id :: cat a a (.) :: cat b c -> cat a b -> cat a c class Functor f where fmap :: (a -> b) -> f a -> f b class Monad m where (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b return :: a -> m a class (Functor f) => Applicative f where pure :: a -> f a (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b class Functor m => MonadJoin m where returnJoin :: a -> m a join :: m (m a) -> m a data Identity a =Целые числаIdentity a runIdentity a = a instance Monad Identity where return x = Identity x (Identity x) >>=f =f x data Int Maybe a = Plus Nat Just a | Minus Nat deriving (Show,Read)Nothing

intZero instance Monad Maybe where Nothing >>= Plus Zerof intOne = Plus Nothing (Succ ZeroJust x)>>= f = f x intNegOne return x = Minus (Succ Zero)Just x

intNeg :: Int -instance Monad [] where m > Int>= f intNeg = concat (Plus xmap f m) = Minus x intNeg (Minus return x) = Plus [x]

intCmp class MonadFish m where returnFish :: Int -> Int a -> Trim a intCmp (Plus Zero) (Minus Zero) >= EQ intCmp (Minus Zero>) :: (Plus Zeroa -> m b) = EQ intCmp -> (Plus Zerob -> m c) -> (Minus (Succ x)) = GT intCmp (Minus Zeroa -> m c) (Plus (Succ x)) = LT intCmp (Plus (Succ x)) (Minus Zero) = GT intCmp (Minus (Succ x)) (Plus Zero) = LT intCmp (Plus x) (Plus y) = natCmp x y intCmp (Minus x) (Minus y) = natCmp y x

intEq :: Int -> Int data State s r = State (s -> Bool intEq (Plus Zeror, s) (Minus Zero) = True intEq (Minus Zero) (Plus Zero) = True intEq (Plus Zero) (Minus (Succ x)) = False intEq (Minus Zero) (Plus (Succ x)) = False intEq (Plus (Succ x)) (Minus Zero) = False intEq (Minus (Succ x)) (Plus Zero) = False intEq (Plus x) (Plus y) = natEq x y intEq (Minus x) (Minus y) = natEq x y

intLt :: Int -> Int -> Bool intLt runState (Plus Zero) (Minus Zero) = False intLt (Minus Zero) (Plus Zero) = False intLt (Plus Zero) (Minus (Succ x)) = False intLt (Minus Zero) (Plus (Succ x)) = True intLt (Plus (Succ x)) (Minus Zero) = False intLt (Minus (Succ x)) (Plus Zero) = True intLt (Plus x) (Plus y) = natLt x y intLt (Minus x) (Minus yState f) s = natLt y xf s

infixl 6 .+., .-.instance Monad (State s) where return r = State (.+.) :: Int -> Int \s -> Int (Plus mr, s) .+. (Plus n) = Plus (m +. n) (Minus m) .+. (Minus nState x) >>= f = Minus (m +. n)State h where (Plus (Succ m)) .+. (Minus (Succ n)) h s0 = (Plus m) .+. (Minus n) (Minus (Succ m)) .+. (Plus (Succ n)) = (Plus n) .+. (Minus m) let x .+. (Plus Zeror1, s1) = xs0 x .+. (Minus Zero) State g = xf r1 (Plus Zeror2, s2) .+. y = yg s1 in (Minus Zeror2, s2) .+. y = y

(.-.) newtype IdentityCPS a = IdentityCPS {runIdentityCPS :: Int forall r . (a -> Int r) -> Int n .-. m = n .+. (intNeg m)r}

infixl 7 .*.caseIdentityCPS :: IdentityCPS a -> (a -> r) -> r caseIdentityCPS = \x -> \f -> runIdentityCPS x f (.*.) constrIdentityCPS :: Int a -> Int IdentityCPS a constrIdentityCPS = \a -> IntIdentityCPS $ \f -> f a instance Functor IdentityCPS where fmap f ma = IdentityCPS $ \g -> caseIdentityCPS ma (Plus m) .*. \a -> g (Plus nf a) = Plus (m *. n) (Minus m) . instance Applicative IdentityCPS where pure = constrIdentityCPS mf <*. > ma = IdentityCPS $ \g -> caseIdentityCPS ma (Minus n) = Plus \a -> caseIdentityCPS mf (m *. n) \f -> g (Plus mf a ) .*. (Minus n) = Minus (m *. n) instance Monad IdentityCPS where return = constrIdentityCPS ma >>= f = IdentityCPS $ \g -> caseIdentityCPS ma (Minus m) .*. \a -> runIdentityCPS (Plus nf a) = Minus (m *. ng) ==Рациональные числа== data Rat newtype MaybeCPS r a = Rat Int NatMaybeCPS {runMaybeCPS :: (a -> r) -> r -> r}

ratNeg caseMaybeCPS :: Rat MaybeCPS r a -> Rat(a -> r) -> r -> r ratNeg (Rat caseMaybeCPS = \x y) = Rat (intNeg -> \f -> \g -> runMaybeCPS x) yf g

ratInv justCPS :: Rat a -> RatMaybeCPS r a ratInv (Rat (Plus x) y) justCPS a = Rat (Plus y) xMaybeCPS $ \f -> \g -> f a nothing :: MaybeCPS r a ratInv (Rat (Minus x) y) nothing = Rat (Minus y) xMaybeCPS $ \f -> \g -> g

ratCmp :: Rat instance Functor (MaybeCPS r) where fmap f ma = MaybeCPS $ \g -> Rat \h -> Tri ratCmp caseMaybeCPS ma (Rat \a b) (Rat c d) = intCmp -> g (f a .*. (Plus d)) (c .*. (Plus b))h

ratEq :: Rat instance Applicative (MaybeCPS r) where pure = justCPS mf <*> ma = MaybeCPS $ \g -> Rat \h -> Bool ratEq caseMaybeCPS ma (Rat \a b) (Rat c d) = intEq -> caseMaybeCPS mf (\f -> g $ f a .*. (Plus d)) (c .*. (Plus b)h)h

ratLt :: Rat instance Monad (MaybeCPS r) where return = justCPS ma >>= f = MaybeCPS $ \g -> Rat \h -> Bool ratLt caseMaybeCPS ma (Rat \a b) (Rat c d) = intEq -> runMaybeCPS (f a .*. (Plus d)) (c .*. (Plus b)g h)h

internalRatPlus newtype StateCPS s a = StateCPS {runStateCPS :: Rat forall r . s -> Rat (s -> Rat internalRatPlus (Rat a b) (Rat c d) = Rat ((a .*. (Plus d)) .+. (c .*. (Plus b))) (b *. d-> r)-> r}

internalRatShorten caseStateCPS :: Rat -> Rat internalRatShorten (Rat (Plus StateCPS s a) b) = Rat -> (Plus (a /. s -> (gcd s, a b))-> r) (b /. (gcd a b))-> r internalRatShorten (Rat (Minus a) b) caseStateCPS = Rat (Minus \x -> \f -> f $ \s -> runStateCPS x s (\s -> \a /. (gcd a b))) (b /. -> (gcd s, a b))

infixl 7 %+, %- (%+) state' :: Rat (s -> Rat (s, a)) -> RatStateCPS s a n %+ m state' st = internalRatShorten StateCPS $ \s -> \f -> let (internalRatPlus n ms', a)= st s in f s' a

instance Functor (%-StateCPS s) :: Rat where fmap f sa = StateCPS $ \s -> Rat \g -> Rat n %caseStateCPS sa (\st - m > let (s', a) = n %+ st s in g s' (ratNeg mf a))

infixl 7 %*instance Applicative (StateCPS s) where pure a = state' $ \s -> (s, %/a) (% sf <*) :: Rat > sa = StateCPS $ \s -> \g -> Rat caseStateCPS sf (\stf -> Rat let (Rat a bs', f) %* = stf s in caseStateCPS sa (\sta -> let (Rat c ds'', a) = Rat sta s' in g s'' (f a .*. c) (b *. d))

instance Monad (%/StateCPS s) :: Rat where return a = state' $ \s -> (s, a) sa >>= f = StateCPS $ \s -> \g -> Rat caseStateCPS sa (\sta -> Rat n %/ m let (s', a) = n %* sta s in runStateCPS (ratInv mf a)s' g) =Кр4=== deforestation ==Дана функция, необходимо её упростить, пользуясь техникой ''deforestation''. '''Мотивация:''' допустим, есть какая-то функция следующего вида:

'''Тут я Первый map создаёт новый список, потом filter возвращает ещё список, и так далее. Если функций много (а их вполне может быть сколько угодно), то такой подход перестаёт быть эффективным. Идея в том, чтобы написать функцию, которая делает все необходимые действия "за раз": в данном примере можно рассматривать элемент списка, применять к нему функцию, потом проверять на условие в filter, а потом сразу считать произведение. Иногда можно посмотреть на композицию функций и придумать сразу оптимальный вариант. Это и требуется сделать во втором задании. Но можно и не уверендумать, можем ли использовать ''natMod'' или надо дополнительно реализовывать еёа применить стандартный алгоритм для преобразования, который даёт ответ.<br/>Ещё мы вроде бы не можем использовать дополнительные функции!'''

gcd [http:: Nat -> Nat -> Nat gcd n Zero = n gcd n m = gcd m //www.sciencedirect.com/science/article/pii/030439759090147A По этой ссылке] описаны правила, по которым нужно преобразовывать функцию. Если коротко, то всё сводится к inline'у тел функций, причём мы хотим добиться отсутствия вызовов других функций на месте аргументов внешней функции (natMod n mрекомендуется для начала почитать ссылку, посмотреть правила и пример оттуда).

==Метод Ньютона=Пример ===subsequences== subsequences :: List a -> List (List a) subsequences Nil = Cons Nil Nil subsequences xs = (subseqtoend xs) ++ (subseqtoend (init xs)) where subseqtoend :Будет разобран пример из [https: List a -> List (List a) subseqtoend Nil = Nil subseqtoend (Cons x xs) = (Cons (Cons x xs) (subseqtoend(xs)))//pp.vk.me/c622121/v622121192/ff98/NtvrRei7bR4.jpg фото].

==permutations== permutations :: List a -<code> List (List a) permutations Nil = Nil permutations (Cons x Nil) = (Cons (Cons x Nil) Nil) permutations (Cons x xs) <font color= insertAtEveryPosForList (permutations xs) x where insertAtEveryPos :: List a -green> a -> Nat -дано</font> List (List a) insertAtEveryPos str elem Zero func = Cons foldr (insert Zero elem Nil str+) Nil insertAtEveryPos str elem pos = 0 . map (insertAtEveryPos str elem (pos \x -. natOne)) ++ (Cons (insert pos elem Nil str) Nil> x * 10)

insertAtEveryPosForList <font color=green>-- сначала перепишем композицию в обычную аппликацию для дальнейшей ясности</font> func0 l = foldr (+) 0 (map (\x -> x * 10) l) <font color=green>-- теперь инлайним foldr, то есть раскрываем его тело</font> func1 l = '''case''' (map (\x -> x * 10) l) '''of''' [] -> 0 (x:xs) -> x + (foldr (+) 0 xs) <font color=green>-- а теперь инлайним map, заодно раскроем лямбду</font> func2 l = '''case''' ('''case''' l '''of''' [] -> [] (y:ys) -> y * 10 : List map (*10) ys) '''of''' [] -> 0 (List ax:xs) -> x + (foldr (+) 0 xs) <font color=green>-- применяем преобразование case'a case'ов, то есть выносим внутренний case на первое место</font> func3 l = '''case''' l '''of''' [] -> List (List a)'''case''' [] '''of''' [] -> 0 insertAtEveryPosForList (Cons x Nil:xs) elem = insertAtEveryPos -> x elem + (foldr (+) 0 xs)) (y:ys) -> (length x'''case''' (y * 10 : map (*10) ys)'''of''' [] -> 0 insertAtEveryPosForList (Cons x :xs) elem -> x + (foldr (+) 0 xs)) <font color= green>-- раскрываем внутренние case'ы: в них pattern-matching сразу срабатывает</font> func4 l = '''case''' l '''of''' [] -> 0 (insertAtEveryPosForList xs elemy:ys) -> 10 * y +(foldr (+ ) 0 (map (insertAtEveryPos x elem *10) ys)) <font color=green>-- замечаем, что у нас получилось в конце выражение foldr (+) 0 (map (*10) ys), а это по сути наша функция func0, которую мы раскрывали изначально, поэтому тому куску можно дать другое имя</font> func5 l = '''case''' l '''of''' [] -> 0 (y:ys) -> 10 * y + func5 ys</code> == stream fusion == По сути это то же самое, только вводятся два дополнительных типа, а стандартные функции подстраиваются под них.* [http://code.haskell.org/~dons/papers/icfp088-coutts.pdf Статья]* [http://www2.tcs.ifi.lmu.de/~senjak/haskellbeatsc.pdf Презентация с красивым форматированием (мотивация)]* [http://www.mit.edu/~mtikekar/posts/stream-fusion.html Применение в реальной жизни]* [http://sprunge.us/ZONH Разбор задания с кр] == zippers and functions differentiation == Для каждой структуры данных (datatype'а) в Haskell можно составить соответствующий ей zipper: это другая структура данных, которая позволяет "гулять" по нашей структуре, взяв в фокус текущий элемент и запоминая при этом остальное состояние структуры данных (или контекст). Для списка легко придумывается zipper: мы находимся на какой-то позиции в списке, знаем значение элемента на этой позиции, знаем часть списка слева от текущего элемента и справа (для более глубокого понимания читай LearnYourHaskell). Поэтому zipper для списка имеет следующий вид: <code> '''data''' ZipperList a = ZList a [a] [a]</code> Но не для всех типов получается легко придумать zipper методом пристального взгляда. Чтобы составить zipper для произвольного типа без особых усилий, можно представить тип как функцию от параметра типа, а затем найти производную этого типа. Тогда если типу соответствует функция <tex> f(a) </tex>, то zipper выражается следующим образом: <tex> z(a) = a \cdot f'(length xa)</tex>. Рассмотрим внимательней типа List:<code> '''data''' List a = Nil | Cons a (List a)</code>

Ему соотвествует следующее уравнение в функциях типов: <tex> f(a) ==А так же==* Дают тип какого-нибудь foldr и просят написать какой-нибудь foldr1 + a \cdot f(a) </tex>.* Написать определения каких-нибудь тайпклассовЕсли теперь продифференцировать обе части уравнения, то можно будет найти производную для списка.* Написать какие-нибудь инстансыОбозначим список элементов типа <tex> x </tex> как <tex>L(x)</tex>.* Доказать эквивалетность каких-нибудь двух определений монады.* CPS-преобразовать какиеИз формулы для списка легко выражется, что <tex> L(x) = \dfrac{1}{1 -нибудь типыx} </tex>.* Написать монадные инстансы для CPS-преобразованных типовЭтим равенством будем пользоваться в дальнейшем.

=Кр4== Пример ===Найдём теперь zipper для какого-нибудь конкретного класса:<code> '''data''' Mice a = Haystack a (Mice a) a | Baboon (Mice a) | List' a a a</code> Запишем уравнение типа для него: <tex> f(a) = a \cdot f(a) \cdot a + f(a) + a \cdot a \cdot a \ (1)</tex>.  На самом деле порядок аргументов в типе не очень важен, мы сами его задаём, поэтому можно написать чуть более сокращенную запись: <tex> f(a) = a^2 \cdot f(a) + f(a) + a^3 </tex> Забудем на некоторое время, что мы работаем с типами. Продифференцируем обе части уравнение по переменной <tex> a </tex>, получим линейное уравнение относительно производной. <tex> f'(a) = 2a \cdot f(a) + a^2 \cdot f'(a) + f'(a) + 3a^2 </tex> Заметка: на этом надо остановиться и написать соответствующий рекурсивный тип. За дальнейшие действия будет сняты 0.5 баллов(ЯН: "слишком сложное решение") <code> <font color=green>-- Итого ответ:</font> '''data''' DMice a = S a (Mice a) | H a (Mice a) | M a a (DMice a) | Y (DMice a) | A a a | K a a | Shmyak a a</code> Забавное, но бесполезное для сдачи ФП, продолжение: Выразим производную. <tex> f'(a) = \dfrac{2a \cdot f(a) + 3a^2}{1 - (a^2 + 1)} = (2a \cdot f(a) + 3a^2) \cdot \dfrac{1}{1 - (a^2 + 1)} \ (2)</tex> В итоге у нас производная является произведением двух функций, а для типа это значит, что он является произведением двух типов. При умножении на константу у нас будет просто несколько одинаковых конструкторов с разными именами.<code> <font color=green>--сначала распишем производную типа, полученного сразу после дифференцирования (1), если соблюдать исходный порядок аргументов в типах</font> '''data''' DMice a = S (Mice a) a | H a (DMice a) a | M a (Mice a) | Y (DMice a) | A a a | K a a | Shmyak a a</code> Теперь распишем первую скобку в (2):<code> '''data''' DMice' = M1 a (Mice a) | M2 a (Mice a) | C1 a a | C2 a a | C3 a a</code> Дальше идёт дробь. Вспоминаем, что на самом деле ей отвечает тип <tex> L(a^2 + 1) </tex>.Поэтому получаем в итоге:<code> '''data''' DMiceListElem a = DM1 a a | DM0 '''data''' DMiceList a = MNil | MCons (DMiceListElem a) (DMiceList a) '''data''' ZMice a = ZMice a (DMice' a) (DMiceList a)</code> * [http://learnyouahaskell.com/zippers LearnYourHaskell {{---}} Zippers]* [http://sprunge.us/HCDN Пример zipper'a из кр]