Изменения

=== Матрица ошибок (англ. Сonfusion matrix) === Перед переходом к самим метрикам необходимо ввести важную концепцию для описания этих метрик в терминах ошибок классификации — [[матрица ошибок|confusion matrix]] (матрица ошибок).

Рассмотрим пример. Пусть банк использует систему классификации заёмщиков на кредитоспособных и некредитоспособных. При этом первым кредит выдаётся, а вторые получат отказ. Таким образом, обнаружение некредитоспособного заёмщика (<math>y = 1 </math>) можно рассматривать как "сигнал тревоги", сообщающий о возможных рисках.

Несложно увидеть, что эти ошибки неравноценны по связанным с ними проблемам. В случае "ложной тревоги" потери банка составят только проценты по невыданному кредиту(только упущенная выгода). В случае "пропуска цели" можно потерять всю сумму выданного кредита. Поэтому системе важнее не допустить "пропуск цели", чем "ложную тревогу".

Поскольку с точки зрения логики задачи нам важнее правильно распознать некредитоспособного заёмщика (с меткой <math>y = 1 </math>, чем ошибиться в распознавании кредитоспособного) , будем называть соответствующий исход классификации положительным (заёмщик некредитоспособен), а противоположный - отрицательным (заемщик кредитоспособен<math>y = 0 </math>). Тогда возможны следующие исходы классификации:

* Некредитоспособный заёмщик классифицирован как некредитоспособный, т.е. положительный класс распознан как положительный. Наблюдения, для которых это имеет место называются '''истинно-положительными ''' ([[true positive]] '''True Positive''' {{- --}} '''TP''').* Кредитоспособный заёмщик классифицирован как кредитоспособный, т.е. отрицательный класс распознан как отрицательный. Наблюдения, которых это имеет место, называются '''истинно отрицательными ''' ([[true negative]] '''True Negative''' {{--- }} '''TN''').* Кредитоспособный заёмщик классифицирован как некредитоспособный, т.е. имела место ошибка, в результате которой отрицательный класс был распознан как положительный. Наблюдения, для которых был получен такой исход классификации, называются '''ложно-положительными ''' ([[false positive]] '''False Positive''' {{--- }} '''FP'''), а ошибка классификации называется '''ошибкой I рода'''.* Некредитоспособный заёмщик распознан как кредитоспособный, т.е. имела место ошибка, в результате которой положительный класс был распознан как отрицательный. Наблюдения, для которых был получен такой исход классификации, называются '''ложно-отрицательными ''' ([[false negative]] '''False Negative''' {{--- }} '''FN'''), а ошибка классификации называется '''ошибкой II рода'''.

[[Файл:Confusion_matrix.png{|500px]]class="wikitable" style="text-align: center"||<math>y = 1</math>|<math>y = 0</math>|-|<math>a ( x ) = 1</math>|Истинно-положительный ('''True Positive — TP''')|Ложно-положительный ('''False Positive — FP''')|-|<math>a ( x ) = 0</math>|Ложно-отрицательный ('''False Negative — FN''')|Истинно-отрицательный ('''True Negative — TN''')|}

Таким образом, ошибки классификации бывают двух видов: '''False Negative ''' ('''FN''') и '''False Positive ''' ('''FP'''). '''P''' означает что классификатор определяет класс объекта как положительный ('''N''' {{---}} отрицательный). '''T''' значит что класс предсказан правильно (соответственно '''F''' {{---}} неправильно). Каждая строка в матрице ошибок представляет спрогнозированный класс, а каждый столбец {{---}} фактический класс.

'''Проблема оценки качества в [[Кластеризация|задаче кластеризации]]''' трудноразрешимаБезупречный классификатор имел бы только истинно-поло­жительные и истинно отрицательные классификации, как минимум, по двум причинамтак что его матрица ошибок содержала бы ненулевые значения только на своей главной диа­гонали (от левого верхнего до правого нижнего угла):* [[Кластеризация#Теорема невозможности Клейнберга|Теорема невозможности Клейнберга]] {{---}} не существует оптимального алгоритма кластеризации.* Многие алгоритмы кластеризации не способны определить настоящее количество кластеров в данных. Чаще всего количество кластеров подается на вход алгоритма и подбирается несколькими запусками алгоритма.

== Методы оценки качества кластеризации == '''import''' numpy '''as''' np '''from''' sklearn.datasets '''import''' fetch_openml '''from'''Метод оценки качества кластеризацииsklearn.metrics ''' {{---}} инструментарий import''' confusion_matrix mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1) X, y = mnist["data"], mnist["target"] y = y.astype(np.uint8) X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:] y_train_5 = (y_train == 5) <font color="green"># True для всех пятерок, False для количественной оценки результатов кластеризациив сех остальных цифр.Задача опознать пятерки</font> y_test_5 = (y_test == 5) y_train_perfect_predictions = y_train_5 <font color="green"># притворись, что мы достигли совершенства</font> print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_perfect_predictions)) <font color="green"># array([[54579, 0], # [ 0, 5421]])</font>

Принято выделять две группы методов оценки качества кластеризации:* '''Внешние''' === Аккуратность (англ. ''Internal''Accuracy) меры основаны на сравнении результата кластеризации с априори известным разделением на классы. * '''Внутренние''' (англ. ''External'') меры отображают качество кластеризации только по информации в данных.===

== Внешние меры оценки качества ==Данные меры используют дополнительные знания о кластеризуемом множестве: распределение по кластерамИнтуитивно понятной, количество кластеров очевидной и т.д.почти неиспользуемой метрикой является ''accuracy'' — доля правильных ответов алгоритма:

=== Обозначения ===Дано множество <math>S</math> из <math>n</math> элементов, разделение на классы <math>X = \{ X_1, X_2, \ldots , X_r \}</math>, и полученное разделение на кластеры <math>Y = \{ Y_1, Y_2, \ldots , Y_s \}</math>, совпадения между <math>X</math> и <math>Y</math> могут быть отражены в таблице сопряженности <math>\left[n_{ij}\right]</math>, где каждое <math>n_{ij}</math> обозначает число объектов, входящих как в <math>X_i</math>, так и в <math>Y_j</math> : <math>n_{ij}accuracy =|X_i \cap Y_j|</math>.: <math>\begin{array}{c|cccc|c}{{} \atop X}\!\diagdown\!^Y &Y_1&Y_2&\ldots&Y_s&\text{Sums}\\\hlineX_1&n_dfrac{11TP+TN}&n_{12TP+TN+FP+FN}&\ldots&n_{1s}&a_1\\X_2&n_{21}&n_{22}&\ldots&n_{2s}&a_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\X_r&n_{r1}&n_{r2}&\ldots&n_{rs}&a_r\\\hline\text{Sums}&b_1&b_2&\ldots&b_s&n\end{array}</math>

Пусть <math>p_{ij} = \dfrac{ n_{ij} }{ n }Эта метрика бесполезна в задачах с неравными классами, p_{i} = \dfrac{ a_{i} }{ n }, p_{j} = \dfrac{ b_{j} }{ n } </math>что как вариант можно исправить с помощью [[алгоритмы сэмплирования|алгоритмов сэмплирования]] и это легко показать на примере.

Также рассмотрим пары <math>Допустим, мы хотим оценить работу спам-фильтра почты. У нас есть 100 не-спам писем, 90 из которых наш классификатор определил верно (x_iTrue Negative = 90, x_jFalse Positive = 10)</math> из элементов кластеризуемого множества <math>X</math>. Подсчитаем количество пар, в которых:* Элементы принадлежат одному кластеру и одному классу {{--10 спам-}} <math>TP</math>* Элементы принадлежат одному кластеруписем, но разным классам {{---}} <math>TN</math>* Элементы принадлежат разным кластерам5 из которых классификатор также определил верно (True Positive = 5, но одному классу {{---}} <math>FP</math>False Negative = 5).* Элементы принадлежат разным кластерам и разным классам {{---}} <math>FN</math>Тогда accuracy:

Rand accuracy = \dfrac{TP5+FN90}{TP5+TN90+FP10+FN5}= 86,4

В отличие от обычного [[{{NAMESPACE}}Однако если мы просто будем предсказывать все письма как не-спам, то получим более высокую ''аккуратность'':{{PAGENAME}}#Индекс_Rand|индекса Rand]], индекс Adjusted Rand может принимать отрицательные значения, если <math>Index < Expected Index</math>.

Jaccard accuracy = \dfrac{TP0+100}{TP0+TN100+FP0+10}= 90,9

=== Индекс Фоулкса – Мэллова (англПри этом, наша модель совершенно не обладает никакой предсказательной силой, так как изначально мы хотели определять письма со спамом. Fowlkes-Mallows Index) ===Индекс Фоулкса – Мэллова используется Преодолеть это нам поможет переход с общей для определения сходства между двумя кластерами.: <math>FM = \sqrt{ \dfrac{TP}{TP+TN} \cdot \dfrac{TP}{TP+FP} }</math>Более высокое значение индекса означает большее сходство между кластерами. Этот индекс также хорошо работает на зашумленных данныхвсех классов метрики к отдельным показателям качества классов.

<font color="green"># код для для подсчета аккуратности:</font> <font color== Hubert Г statistic ===Данная мера отражает среднее расстояние "green">'''# Пример классификатора, способного проводить различие между объектами разных кластеров:всего лишь двумя: '''# классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST<math/font>Г '''import''' numpy '''as''' np '''from''' sklearn.datasets '''import''' fetch_openml '''from''' sklearn.model_selection '''import''' cross_val_predict '''from''' sklearn.metrics '''import''' accuracy_score '''from''' sklearn.linear_model '''import''' SGDClassifier mnist = fetch_openml('mnist_784', version= \dfrac{1}{M} \sum \limits_{i) X, y =1}^{N-1} \sum \limits_{imnist["data"], mnist["target"] y =i+1}^{N} Py.astype(inp.uint8) X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], j) \cdot Qy[60000:] y_train_5 = (i, jy_train == 5)<font color="green"> # True для всех пятерок,False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки</mathfont>где y_test_5 = (y_test == 5) sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) <mathfont color="green">M = n*# классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (n-1Stochastic Gradient Descent SGD)/2</mathfont> sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) <mathfont color="green">P(i, j)# обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе</mathfont> {{---}} матрица близости y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, аX_train, y_train_5, cv=3): <mathfont color="green">Q# print(iconfusion_matrix(y_train_5, jy_train_pred) = \begin{cases}) # array([[53892, 687] 0# [ 1891, & \mbox{если x3530]])</font> print(iaccuracy_score(y_train_5, y_train_pred) и x)<font color="green"> # == (j53892 + 3530) лежат в одном кластере} \\ 1, / (53892 + 3530 & \mbox{в другом случае } \\\end{cases}+ 1891 +687)</mathfont>Можно заметить, что два объекта влияют на <mathfont color="green">Г# 0.9570333333333333</mathfont>, только если они находятся в разных кластерах.

Чем больше значение меры {{---}} тем лучше=== Точность (англ.Precision) ===

=== Индекс Phi ===Классическая мера корреляции между двумя переменными:: <math>\Phi = \dfracТочностью (''precision'') называется доля правильных ответов модели в пределах класса {{ TP \times FN - TN \times FP --}{ (TP + TN)(TP + FP)(FN + FP)(FN + TN) }</math>это доля объектов действительно принадлежащих данному классу относительно всех объектов которые система отнесла к этому классу.

MS Precision = \dfrac{ \sqrt{ \sum_i \binom{a_iTP}{2} TP+ \sum_j \binom{b_i}{2} - 2\sum_{ij} \binom{ n_{ij} }{ 2 } } }{ \sqrt{ \sum_j \binom{b_i}{2} } FP}

=== Индекс Гудмэна-Крускала (англИменно введение ''precision'' не позволяет нам записывать все объекты в один класс, так как в этом случае мы получаем рост уровня ''False Positive''. Goodman-Kruskal Index) ===: <math>GK = \sum_i p_i(1 - \max_j \dfrac{ p_{ij} }{ p_i })</math>

=== Entropy =Полнота (англ. Recall) ==Энтропия измеряет "чистоту" меток классов:: <math>E = - \sum_i p_i ( \sum_j \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } log( \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } ) )</math>

Стоит отметитьПолнота {{---}} это доля истинно положительных классификаций. Полнота показывает, что если все кластера состоят из какую долю объектов одного класса, то энтропия равна 0реально относящихся к положительному классу, мы предсказали верно.

P Recall = \sum_i p_i ( \max_j \dfrac{ p_{ij} TP}{ p_i TP+FN} )

Чистота находится в интервале [0Полнота (''recall'') демонстрирует способность алгоритма обнаруживать данный класс вообще. Имея матрицу ошибок, 1], причём значение = 1 отвечает оптимальной кластеризацииочень просто можно вычислить точность и полноту для каждого класса. Точность (''precision'') равняется отношению соответствующего диагонального элемента матрицы и суммы всей строки класса. Полнота (''recall'') {{---}} отношению диагонального элемента матрицы и суммы всего столбца класса.Формально:

F Precision_c = \sum_j p_j \max_i \big\lbrack 2 \dfrac{ p_{ij} }{ p_i } \dfrac{ p_A_{ijc,c} }{ p_j } \big/ (sum \dfraclimits_{ p_{ij} i=1}^{ p_i n} + \dfracA_{ p_{ij} c,i}{ p_j }) \big\rbrack

VI Recall_c = - \sum_i p_i \log p_i - \sum_i p_j log p_j - 2 \sum_i \sum_j p_dfrac{A_{ijc,c} }{\log sum \dfraclimits_{ p_i=1}^{ijn} A_{i,c}{ p_i p_j }

Результирующая точность классификатора рассчитывается как арифметическое среднее его точности по всем классам. То же самое с полнотой. Технически этот подход называется '''macro-averaging'''.  <font color="green"># код для для подсчета точности и полноты: '''# Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя '''# классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST</font> '''import''' numpy '''as''' np '''from''' sklearn.datasets '''import''' fetch_openml '''from''' sklearn.model_selection '''import''' cross_val_predict '''from''' sklearn.metrics '''import''' precision_score, recall_score '''from''' sklearn.linear_model '''import''' SGDClassifier mnist = Внутренние меры оценки качества fetch_openml('mnist_784', version=1) X, y =mnist["data"], mnist["target"] y = y.astype(np.uint8)Данные меры оценивают качество структуры кластеров опираясь только непосредственно X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:] y_train_5 = (y_train == 5) <font color="green"># True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки</font> y_test_5 = (y_test == 5) sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42)<font color="green"> # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)</font> sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) <font color="green"># обучаем классификатор распозновать пятерки на неецелом обучающем наборе</font> y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3) <font color="green"># print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_pred)) # array([[53892, 687] # [ 1891, 3530]])</font> print(precision_score(y_train_5, y_train_pred)) <font color="green"># == 3530 / (3530 + 687)</font> print(recall_score(y_train_5, не используя внешней информацииy_train_pred)) <font color="green"># == 3530 / (3530 + 1891)</font> <font color="green"># 0.8370879772350012 # 0.6511713705958311</font> === F-мера (англ.F-score) ===

=== Компактность кластеров (англ''Precision'' и ''recall'' не зависят, в отличие от ''accuracy'', от соотношения классов и потому применимы в условиях несбалансированных выборок. Cluster Cohesion) ===Идея данного метода Часто в том, реальной практике стоит задача найти оптимальный (для заказчика) баланс между этими двумя метриками. Понятно что чем ближе друг к другу находятся объекты внутри кластероввыше точность и полнота, тем лучше разделение. Но в реальной жизни максимальная точность и полнота не достижимы одновременно и приходится искать некий баланс. Поэтому, хотелось бы иметь некую метрику которая объединяла бы в себе информацию о точности и полноте нашего алгоритма. В этом случае нам будет проще принимать решение о том какую реализацию запускать в производство (у кого больше тот и круче). Именно такой метрикой является ''F-мера''.

Таким образом, необходимо минимизировать внутриклассовое расстояние, например, сумму квадратов отклоненийF-мера представляет собой [https:: <math>WSS = \sum \limits_{j=1}^{M} \sum \limits_{i = 1}^{|C_j|} (x_{ij} - \overline{x_j})^2</math>/ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5 гармоническое среднее] между точностью и полнотой. Она стремится к нулю, где <math>M</math> {{---}} количество кластеровесли точность или полнота стремится к нулю.

: <math> F === Отделимость кластеров (англ. Cluster Separation) ===В данном случае идея противоположная \dfrac{2 \times precision \times recall }{---}precision + recall } чем дальше друг от друга находятся объекты разных кластеров, тем лучше. </math>

Поэтому здесь стоит задача максимизации суммы квадратов отклонений:: <math>BSS = n \cdot \sum \limits_{j=1}^{M} (\overline{x_{j}} - \overline{x})^2</math>Данная формула придает одинаковый вес точности и полноте, где <math>M</math> {{поэтому F-мера будет падать одинаково при уменьшении и точности и полноты. Возможно рассчитать ''F--}} количество кластеров.меру'' придав различный вес точности и полноте, если вы осознанно отдаете приоритет одной из этих метрик при разработке алгоритма:

D(C) F_β = \dfrac{ min_{c_k \in C} \{ min_{c_l \in C \setminus c_k} \{ \delta(c_k, c_l) \} \} }{ max_{c_k \in C} \{ \Delta(c_k) \} } </math>,где:: <math>\delta</math> {{---}} межкластерное расстояние (оценка разделения), <math>\delta(c_k, c_l1+β^2) = min_{x_i \in c_k, x_j times precision \in c_ltimes recall } \|x_i - x_j\|</math>,: <math>\Delta(c_k)</math> {{---}} диаметр кластера (оценка сплоченности), <math>β^2 \Delta(c_ktimes precision) = max_{x_i,x_j \in c_k+ recall } \|x_i - x_j\|</math>. === Обобщенный Индекс Данна (gD31, gD41, gD51, gD33, gD43, gD53) ===Все эти вариации являются комбинациями 3 вариантов вычисления оценки разделения <math>\delta</math> и оценки компактности <math>\Delta</math>

Оценки разделения:: где <math>\delta^3(c_kβ</math> принимает значения в диапазоне <math>0<β<1</math> если вы хотите отдать приоритет точности, c_l) а при <math>β>1</math> приоритет отдается полноте. При <math>β= \dfrac{1}{|c_k| * |c_l|} \sum_{x_i \in c_k} \sum_{x_j \in c_l} \|x_i </math> формула сводится к предыдущей и вы получаете сбалансированную F- x_j\| меру (также ее называют <math>F_1</math>,).

<div><ul> <li style="display: inline-block;"> [[Файл:F_balanc.jpg|thumb|none|450px|Рис.1 Сбалансированная F-мера, <math>\delta^5(c_k, c_l) β= \dfrac{1}{</math>]] </li><li style="display: inline-block;"> [[Файл:F_prior_Prec.jpg|c_kthumb| + none|c_l450px|} (Рис.2 F-мера c приоритетом точности, <math>β^2=\sum_dfrac{x_i \in c_k1 } \|x_i - \overline{c_k4 }\</math>]] </li><li style="display: inline-block;"> [[Файл:F_prior_Recal.jpg|thumb|none| + \sum_{x_j \in c_l} \450px|x_j Рис.3 F- \overline{c_l}\|) мера c приоритетом полноты, <math>β^2=2</math>.]] </li></ul></div>

Оценки компактности:: <math>\Delta^1(c_k) = \Delta(c_k) </math>''F-мера'' достигает максимума при максимальной полноте и точности,и близка к нулю, если один из аргументов близок к нулю.

''F-мера'' является хорошим кандидатом на формальную метрику оценки качества классификатора. Она сводит к одному числу две других основополагающих метрики: <math>\Delta^3(c_k) = \dfrac{2}{|c_k|} \sum_{x_i \in c_k} \|x_i точность и полноту. Имея "F- \overline{c_k}\| </math>.меру" гораздо проще ответить на вопрос: "поменялся алгоритм в лучшую сторону или нет?"

Обобщенный индекс Данна <font color="green"># код для подсчета метрики F-mera: '''# Пример классификатора, как способного проводить различие между всего лишь двумя '''# классами, "пятерка" и обычный"не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST</font> '''import''' numpy '''as''' np '''from''' sklearn.datasets '''import''' fetch_openml '''from''' sklearn.model_selection '''import''' cross_val_predict '''from''' sklearn.linear_model '''import''' SGDClassifier '''from''' sklearn.metrics '''import''' f1_score mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1) X, y = mnist["data"], mnist["target"] y = y.astype(np.uint8) X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:] y_train_5 = (y_train == 5)<font color="green"> # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки</font> y_test_5 = (y_test == 5) sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42)<font color="green"> # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)</font> sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) <font color="green"># обучаем классификатор распознавать пятерки на целом обучающем наборе</font> y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3) print(f1_score(y_train_5, должен возрастать вместе с улучшением качества кластеризацииy_train_pred)) <font color="green"># 0.7325171197343846</font>

=== Индекс S_Dbw ROC-кривая ===Основан на вычислении Евклидовой нормы

: <math>\ \|x\| = '''Кривая рабочих характеристик''' (x^Txангл. '''Receiver Operating Characteristics curve''')^. Используется для анализа поведения классификаторов при различных пороговых значениях. Позволяет рассмотреть все пороговые значения для данного классификатора. Показывает долю ложно положительных примеров (1/2англ. '''false positive rate, FPR''') </math>в сравнении с долей истинно положительных примеров (англ. '''true positive rate, TPR''').

: <math> \sigma(X) TPR = \dfrac{1TP}{|X|TP+FN} \sum_{x_i \in X} (x_i - \overline{x}) ^ 2 = Recall</math>,

: <math> stdev(C) FPR = \dfrac{1FP}{K}\sqrt{\sum_{c_k \in C} \|\sigma(c_k)\|FP+TN} </math>.

: <math> SDbw(C) FPR = \dfrac{1}{K} \sum_{c_k \in C} \dfrac{\|\sigma(c_k)\|}{\|\sigma(X)\|} + \dfrac{1}{K(K-1)} \sum_{c_k \in C} \sum_{c_l \in C \setminus c_k} \dfrac{den(c_k,c_l)}{max(den(c_k),den(c_l))} TNR</math>.,

: <math> denДоля '''TNR''' также называется '''специфичностью''' (c_kангл. '''specificity''') = \sum_{x_i \in c_k} f. Следовательно, ROC-кривая изображает '''чувствительность''' (x_iангл. '''seпsitivity'''), \overline{c_k}) </math>т.е. полноту,в срав­нении с разностью '''1 - specificity'''.

: <math> den(c_kПрямая линия по диагонали представляет ROC-кривую чисто случайного классификатора. Хороший классификатор держится от указанной линии настолько далеко, c_l) = \sum_{x_i \in c_k \cup c_l} fнасколько этовозможно (x_i, \dfrac{\overline{c_k} + \overline{c_l}}{2}стремясь к левому верхнему углу) </math>,.

: <math> fОдин из способов сравнения классификаторов предусматривает измере­ние '''площади под кривой''' (x_i, c_kангл. '''Area Under the Curve {{---}} AUC''') = 0 </math>, если <math> \|x_i . Безупречный клас­сификатор будет иметь площадь под ROC- \overline{c_k}\| > stdevкривой (C'''ROC-AUC''') </math> и <math>, равную 1</math> в ином случае, тогда как чисто случайный классификатор - площадь 0.5.

Должен снижаться с улучшением кластеризации <font color="green"># Код отрисовки ROC-кривой '''# На примере классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя классами '''# "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST</font> '''from''' sklearn.metrics '''import''' roc_curve '''import''' matplotlib.pyplot '''as''' plt '''import''' numpy '''as''' np '''from''' sklearn.datasets '''import''' fetch_openml '''from''' sklearn.model_selection '''import''' cross_val_predict '''from''' sklearn.linear_model '''import''' SGDClassifier mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1) X, y = mnist["data"], mnist["target"] y = y.astype(np.uint8) X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:] y_train_5 = (y_train == 5) <font color="green"># True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки</font> y_test_5 = (y_test == 5) sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) <font color="green"># классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)</font> sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) <font color="green"># обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе</font> y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3) y_scores = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3, method="decision_function") fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_train_5, y_scores) def plot_roc_curve(fpr, tpr, label=None): plt.plot(fpr, tpr, linewidth=2, label=label) plt.plot([0, 1], [0, 1], 'k--') # dashed diagonal plt.xlabel('False Positive Rate, FPR (1 - specificity)') plt.ylabel('True Positive Rate, TPR (Recall)') plt.title('ROC curve') plt.savefig("ROC.png") plot_roc_curve(fpr, tpr) plt.show()

=== Силуэт (англ. Silhouette) Precison-recall кривая === Значение силуэта показывает, насколько объект похож на свой кластер по сравнению с другими кластерами.

Оценка для всей кластерной структуры:'''Чувствительность к соотношению классов.''' : Рассмотрим задачу выделения математических статей из множества научных статей. Допустим, что всего имеется 1.000.100 статей, из которых лишь 100 относятся к математике. Если нам удастся построить алгоритм <math> Sil(С) = \dfrac{1}{N} \sum_{c_k \in C} \sum_{x_i \in c_k} \dfrac{ b(x_i, c_k) - a(x_i, c_kx) }{ max \{ a(x_i, c_k), b(x_i, c_k) \} }</math>,где:: <math>a(x_iидеально решающий задачу, то его TPR будет равен единице, а FPR — нулю. Рассмотрим теперь плохой алгоритм, дающий положительный ответ на 95 математических и 50.000 нематематических статьях. Такой алгоритм совершенно бесполезен, c_k) но при этом имеет TPR = 0.95 и FPR = \dfrac{1}{|c_k|} \sum_{x_j \in c_k} \|x_i - x_j\|0.05, что крайне близко к показателям идеального алгоритма.</math> {{Таким образом, если положительный класс существенно меньше по размеру, то AUC---}} среднее расстояние от <math>x_i \in c_k</math> до других ROC может давать неадекватную оценку качества работы алгоритма, поскольку измеряет долю неверно принятых объектов из кластера <math>c_k</math> (компактность)относительно общего числа отрицательных. Так,: алгоритм <math>b(x_i, c_kx) = min_{c_l \in C \setminus c_k } \{ \dfrac{1}{|c_l|} \sum_{x_j \in c_l} \|x_i - x_j\| \}</math> {{-, помещающий 100 релевантных документов на позиции с 50.001-й по 50.101-}} среднее расстояние от <math>x_i \in c_k</math> до объектов из другого кластера <math>c_l: k \neq l</math> (отделимость).Можно заметитью, что : <math> будет иметь AUC-1 \le Sil(C) \le 1</math>ROC 0.Чем ближе данная оценка к 1, тем лучше95.

Есть также упрощенная вариация силуэта: <math>a'''Precison-recall (x_iPR) кривая.''' Избавиться от указанной проблемы с несбалансированными классами можно, перейдя от ROC-кривой к PR-кривой. Она определяется аналогично ROC-кривой, c_kтолько по осям откладываются не FPR и TPR, а полнота (по оси абсцисс)</math> и <math>bточность (x_i, c_kпо оси ординат)</math> вычисляются через центры кластеров.Критерием качества семейства алгоритмов выступает '''площадь под PR-кривой''' (англ. '''Area Under the Curve — AUC-PR''')

=== Индекс Calinski–Harabasz ===[[Файл: <math>CH(C) = \dfrac{ N-K }{ K-1 } \cdot \dfrac{ \sum_{c_k \in C} |c_k| \cdot \| \overline{c_k} - \overline{X} \| }{ \sum_{c_k \in C} \sum_{ x_i \in c_k } \| x_i - \overline{c_k} \| }</math>Компактность основана на расстоянии от точек кластера до их центроидов, а разделимость - на расстоянии от центроид кластеров до глобального центроида. Должен возрастатьPR_curve.png]]

<font color="green"># Код отрисовки Precison-recall кривой '''# На примере классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя классами '''# "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST</font> '''from''' sklearn.metrics '''import''' precision_recall_curve '''import''' matplotlib.pyplot '''as''' plt '''import''' numpy '''as''' np '''from''' sklearn.datasets '''import''' fetch_openml '''from''' sklearn.model_selection '''import''' cross_val_predict '''from''' sklearn.linear_model '''import''' SGDClassifier mnist =fetch_openml('mnist_784', version= Индекс C 1) X, y =mnist["data"], mnist["target"] y =y.astype(np.uint8) X_train, X_test, y_train, y_test =Индекс C представляет собой нормализованную оценку компактностиX[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]: y_train_5 = (y_train == 5) <font color="green"># True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки<math/font>CI y_test_5 = (Cy_test == 5) sgd_clf = \dfrac{ SSGDClassifier(Crandom_state=42) - S_{min}<font color="green"> # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (CStochastic Gradient Descent SGD) }{ S_{max}</font> sgd_clf.fit(C) - S_{min}(CX_train, y_train_5)}</mathfont color="green">,где:: # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе<math/font>S y_train_pred = cross_val_predict(Csgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3) y_scores = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv= \sum \limits_{c_k \in C} \sum \limits_{x_i3, x_j \in c_k} \| x_i - x_j \|method="decision_function")</math> precisions, recalls, thresholds = precision_recall_curve(y_train_5,y_scores) def plot_precision_recall_vs_threshold(precisions, recalls, thresholds): <math>S_{min} plt.plot(Crecalls, precisions, linewidth=2) plt.xlabel(S_{max}'Recall') plt.ylabel(C'Precision') plt.title('Precision-Recall curve')</math> - сумма <math>\dfrac{ |c_k|\cdot plt.savefig(|c_k| - 1"Precision_Recall_curve.png") }{2}</math> минимальных plot_precision_recall_vs_threshold(максимальныхprecisions, recalls, thresholds) расстояний между парами всех объектов во всем датасете plt.show()

=== Индекс Дэвиcа-Болдуина (англ. Davies–Bouldin Index) ===Это, возможно, одна из самых используемых мер оценки Оценки качества кластеризации.<br/>Она вычисляет компактность как расстояние от объектов кластера до их центроидов, а отделимость - как расстояние между центроидами.: <math>DB(C) регрессии = \dfrac{1}{K} \sum \limits_{c_k \in C} \max \limits_{c_l \in C \setminus c_k} \Big\{ \dfrac{ S(c_k)+S(c_l) }{ \| \overline{c_k} - \overline{c_l} \| } \Big\}</math>,где:: <math>S(c_k) = \dfrac{ 1 }{ |c_k| } \sum \limits_{x_i \in c_k} \|x_i - \overline{c_k}\|</math>

C-индекс и индекс Дэвиcа-Болдуина должны минимизироваться для роста кластеризации=== Средняя квадратичная ошибка (англ.Mean Squared Error, MSE) ===

=== Score function ===Индекс''MSE'' применяется в ситуациях, когда нам надо подчеркнуть большие ошибки и выбрать модель, основанный на суммированиикоторая дает меньше больших ошибок прогноза. Здесь оценка компактности выражается Грубые ошибки становятся заметнее за счет того, что ошибку прогноза мы возводим в дистанции от точек кластера до его центроидаквадрат. И модель, а оценка разделимости — в дистанции от центроидов кластеров до глобального центроидакоторая дает нам меньшее значение среднеквадратической ошибки, можно сказать, что что у этой модели меньше грубых ошибок.

SF(C) MSE = 1 - \dfrac{ 1 }{ e^{e^{bcd(C) + wcd(C)}} n}</math>,где:: <math>bcd(C) = \dfrac{ \sum \limits_{c_k \in C} |c_k| \cdot \|\overline{c_k} - \overline{X}\| }{ N \times K }</math>,: <math>wcd(C) i= \sum \limits_{c_k \in C} \dfrac{ 1 }^{ |c_k| n} \sum \limits_{x_i \in c_k} \|(a(x_i ) - \overline{c_k}\|y_i)^2</math> и

Чем больше данный индекс=== Cредняя абсолютная ошибка (англ. Mean Absolute Error, тем выше качество.MAE) ===

G(C) MAE = \dfrac{ 1}{n}\sum \sum_limits_{c_k \in Ci=1} \sum_^{x_i,x_j \in c_kn} |c_k| \cdot dla(x_i, x_j) }{ n_w (\binom{N}{2} - n_w) }y_i|

где:: <math>dl(x_iСреднеквадратичный функционал сильнее штрафует за большие отклонения по сравнению со среднеабсолютным,x_j)</math> {{---}} число пар <math>(x_kи поэтому более чувствителен к выбросам. При использовании любого из этих двух функционалов может быть полезно проанализировать, x_l) \in X</math> такихкакие объекты вносят наибольший вклад в общую ошибку — не исключено, что (1) <math>x_k</math> и <math>x_l</math> принадлежат разным кластерам, и (2) <math>\|x_k - x_l\| < \|x_i - x_j\|</math>,: <math>n_w = \sum_{c_k \in C} \binom{|c_k|}{2}</math>на этих объектах была допущена ошибка при вычислении признаков или целевой величины.

Среднеквадратичная ошибка подходит для сравнения двух моделей или для контроля качества во время обучения, но не позволяет сделать выводов о том, на сколько хорошо данная модель решает задачу. Например, MSE === Индекс COP ===В данной мере компактность вычисляется как расстояние 10 является очень плохим показателем, если целевая переменная принимает значения от точек кластера 0 до его центроиды1, а разделимость основана на расстоянии до самого отдаленного соседа.: <math>COPи очень хорошим, если целевая переменная лежит в интервале (C10000, 100000) = \dfrac. В таких ситуациях вместо среднеквадратичной ошибки полезно использовать коэффициент детерминации {1}{N} \sum \limits_{c_k \in C} |c_k| \dfrac{ 1/|c_k| \sum_{x_i \in c_k} \| x_i - \overline{c_k--} \| }{ \min_{x_i \notin c_k} \max_{x_j \in c_k} \| x_i - x_j\| }<math>R^2</math>.

=== Индекс CS Коэффициент детерминации ===Был предложен в области сжатия изображений, но может быть успешно адаптирован для любого другого окружения. Он оценивает компактность по диаметру кластера, а отделимость — как дистанцию между ближайшими элементами двух кластеров.

CS(C) R^2 = \dfrac{\sum_{c_k \in C} \{ 1 / |c_k| \sum_{x_i \in c_k} \max_{x_j \in c_k}\{\|x_i - x_j\|\} \}}{\sum_{c_k \in C} \min_dfrac{c_l \in C \setminus c_k} \{\|\overline{c_k} - sum \overlinelimits_{c_l}\| \}}</math>. Чем меньше значение данного индекса, тем выше качество кластеризации. i=== Индекс Sym ===: <math>Sym(C) = \dfrac {\max_{c_k, c_l \in C} \{\|\overline{c_k} - \overline{c_l}\|\}}{K\sum_{c_k \in C}\sum_{x_i \in c_k1} \overset^{\ast}{d_{ps}n}(x_i, c_k)}</math>. Здесь <math>\overset{\ast}{d_{ps}}a(x_i, c_k)</math> — дистанция симметрии для точки <math>x_i</math> из кластера <math>c_k</math>. Чем выше данное значение, тем лучше. === Индексы SymDB, SymD, Sym33 ===Модифицируют оценку компактности для индексов Дэвиса-Боулдина, Данна и gD33 соответственно. SymDB вычисляется аналогично DB с изменением вычисления <math>S</math> на: : <math> S(c_ky_i) = \dfrac{1^2}{|c_k| \sum_{x_i \in c_k} sum \oversetlimits_{\asti=1}^{d_{ps}n}(x_i, c_k)} </math>. Данная оценка должна уменьшаться для улучшения качества кластеризации. В SymD переопределена функция <math>y_i - \Delta</math>: : <math> \Delta(c_k) = \max_{x_i \in c_k} \{\overset{\ast}overline{d_{psy}}(x_i, c_k)\^2} </math>. в Sym33 аналогично SymD переопределена <math>\Delta</math>: : <math> \Delta(c_k) = \dfrac{2}{|c_k| \sum_{x_i \in c_k} \overset{\ast}{d_{ps}}(x_i, c_k)} </math>.

Последние две оценки должны расти для улучшения Коэффициент детерминации измеряет долю дисперсии, объясненную моделью, в общей дисперсии целевой переменной. Фактически, данная мера качества кластеризации— это нормированная среднеквадратичная ошибка. Если она близка к единице, то модель хорошо объясняет данные, если же она близка к нулю, то прогнозы сопоставимы по качеству с константным предсказанием.

=== Negentropy increment Средняя абсолютная процентная ошибка (англ. Mean Absolute Percentage Error, MAPE) ===В отличие от подавляющего большинства других оценок, не основывается на сравнении компактности и разделимости. Определяется следующим образом:

NI(C) MAPE = 100\% \times \dfrac{1}{2n} \sum_sum \limits_{c_k \in Ci=1} p(c_k)log|cov_^{c_kn}| - \dfrac{1|y_i - a(x_i)|}{2}log|cov_Xy_i| - \sum_{c_k \in C} p(c_k)log p(c_k)</math>.

Здесь <math>p(c_k) Это коэффициент, не имеющий размерности, с очень простой интерпретацией. Его можно измерять в долях или процентах. Если у вас получилось, например, что MAPE= |c_k| / N</math>11.4%, то это говорит о том, <math>|cov_{c_k}|</math> - определитель ковариационной матрицы кластера <math>c_k</math>что ошибка составила 11, <math>|cov_X|</math> - определитель ковариационной матрицы всего датасета4% от фактических значений.Основная проблема данной ошибки — нестабильность.

Данная оценка должна уменьшаться пропорционально росту качества кластеризации.=== Индекс SV Корень из средней квадратичной ошибки (англ. Root Mean Squared Error, RMSE) ===Одна из самых новых из рассматриваемых в данном разделе оценок. Измеряет разделимость по дистанции между ближайшими точка кластеров, а компактность — по расстоянию от пограничных точек кластера до его центроида.

SV(C) RMSE = \dfracsqrt{\sum_dfrac{c_k \in C1} \min_{c_l \in C \setminus c_kn} \{sum \|\overlinelimits_{c_ki=1} - \overline^{c_ln}\|\}}{\sum_{c_k \in C} 10 / |c_k| \sum \max_{(a(x_i \in c_k}(0.1 * |c_k|) * \|\overline{x_i} - \overline{c_k}\|y_i)^2}</math>.

Данная оценка должна увеличиватьсяПримерно такая же проблема, как и в MAPE: так как каждое отклонение возводится в квадрат, любое небольшое отклонение может значительно повлиять на показатель ошибки. Стоит отметить, что существует также ошибка MSE, из которой RMSE как раз и получается путем извлечения корня.

=== Индекс OS Cимметричная MAPE (англ. Symmetric MAPE, SMAPE) ===Отличается от предыдущей оценки усложненным способом вычисления оценки разделимости.

OS(C) SMAPE = \dfrac{\sum_1}{c_k n}\in C} sum \sum_limits_{x_i \in c_ki=1} ov(x_i, c_k)^{n}{\sum_dfrac{c_k 2 \in C} 10 / times |c_ky_i - a(x_i)| \sum \max_}{x_i \in c_k}(0.1 * |c_ky_i|) * \+ |\overline{a(x_i} - \overline{c_k}\)|}</math>. Где

: <math>ov=== Средняя абсолютная масштабированная ошибка (x_iангл. Mean absolute scaled error, c_kMASE) = \dfrac{a(x_i, c_k)}{b(x_i, c_k)}</math>.==

при : <math> MASE = \dfrac{b(x_i, c_k) \sum \limits_{i=1}^n |Y_i - a(x_i, c_k)e_i|}{\frac{n}{n-1}\sum \limits_{i=2}^n | Y_i-Y_{b(x_i, c_k) + a(x_i, c_k)i-1}|} < 0.4 </math>, и <math>0</math> в ином случае.

Функции <math>a</math> ''MASE'' является очень хорошим вариантом для расчета точности, так как сама ошибка не зависит от масштабов данных и <math>b</math> определены следующим образомявляется симметричной:то есть положительные и отрицательные отклонения от факта рассматриваются в равной степени.Обратите внимание, что в ''MASE'' мы имеем дело с двумя суммами: та, что в числителе, соответствует тестовой выборке, та, что в знаменателе - обучающей. Вторая фактически представляет собой среднюю абсолютную ошибку прогноза. Она же соответствует среднему абсолютному отклонению ряда в первых разностях. Эта величина, по сути, показывает, насколько обучающая выборка предсказуема. Она может быть равна нулю только в том случае, когда все значения в обучающей выборке равны друг другу, что соответствует отсутствию каких-либо изменений в ряде данных, ситуации на практике почти невозможной. Кроме того, если ряд имеет тенденцию к росту либо снижению, его первые разности будут колебаться около некоторого фиксированного уровня. В результате этого по разным рядам с разной структурой, знаменатели будут более-менее сопоставимыми. Всё это, конечно же, является очевидными плюсами ''MASE'', так как позволяет складывать разные значения по разным рядам и получать несмещённые оценки.

: <math>a(x_iНедостаток ''MASE'' в том, c_k) что её тяжело интерпретировать. Например, ''MASE''= \dfrac{1}{|c_k|\sum_{x_j \in c_k}\|x_i - x_j\|}</math>.21 ни о чём, по сути, не говорит. Это просто означает, что ошибка прогноза оказалась в 1.21 раза выше среднего абсолютного отклонения ряда в первых разностях, и ничего более.

: <math>b(x_i, c_k) = \dfrac{1}{|c_k|\sum_{x_j \notin c_k}\ \min(|c_k)\|x_i = Кросс- x_j\|}</math>.валидация ==

Данная оценка, как и предыдущая, должна возрастатьХороший способ оценки модели предусматривает применение [[Кросс-валидация|кросс-валидации]] (cкользящего контроля или перекрестной проверки).

== Сравнение ==Не существует лучшего метода оценки качества кластеризацииВ этом случае фиксируется некоторое множество разбиений исходной выборки на две подвыборки: обучающую и контрольную. ОднакоДля каждого разбиения выполняется настройка алгоритма по обучающей подвыборке, в рамках исследования<ref>[https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S003132031200338X An extensive comparative study of cluster validity indices]</ref> была предпринята попытка сравнить существующие меры затем оценивается его средняя ошибка на различных данныхобъектах контрольной подвыборки. Полученные результаты показали, что Оценкой скользящего контроля называется средняя по всем разбиениям величина ошибки на искусственных датасетах наилучшим образом себя проявили индексы <math>Silhouette</math>, <math>DB^*</math> и <math>Calinski-Harabasz</math>. На реальных датасетах лучше всех показал себя <math>Score-function</math>контрольных подвыборках.

В Таблице 1 приведены оценки сложности мер качества кластеризации (<math>n</math> — число объектов в рассматриваемом наборе данных): {|class="wikitable" style="marginПримечания ==# [https:auto; clear:both; |+ Таблица 1 — Оценка сложности для 19 мер качества кластеризации. |<math>Davies-Bouldin</math> |<math>O(n\log{n})</math> |<math>CS<www.coursera.org/math> |<math>O(n\log{n})<lecture/math> |vvedenie- |<math>Dunn</math> |<math>O(n^2)</math> |<math>DB^*</math> |<math>O(n\log{n})</math> |mashinnoe- |<math>Calinski-Harabasz</math> |<math>O(n\log{n})<obuchenie/math> |<math>SF</math> |<math>O(n)</math> |otsienivaniie- |<math>Sillhouette</math> |<math>O(n^2)</math> |<math>Sym</math> |<math>O(n^2)</math> |kachiestva-xCdqN] Лекция "Оценивание качества" на www.coursera.org |<math>gD31<# [https:/math> |<math>O(n^2)</math> |<math>COP<stepik.org/math> |<math>O(n^2)<lesson/math> |- |<math>gD41<209691/math> |<math>O(n^2)<step/math>8?unit=183195] Лекция на www.stepik.org о кросвалидации |<math>SV<# [https:/math> |<math>O(n\log{n})</math> |- |<math>gD51<stepik.org/math> |<math>O(n^2)<lesson/math> |<math>OS<209692/math> |<math>O(n^2\log{n})<step/math>5?unit=183196] Лекция на www.stepik.org о метриках качества, Precison и Recall |- |<math>gD33<# [https:/math> |<math>O(n^2)</math> |<math>SDbw<stepik.org/math> |<math>O(n\log{n})<lesson/math> |- |<math>gD43<209692/math> |<math>O(n^2)<step/math> |<math>C7?unit=183196] Лекция на www.stepik.org о метриках качества, F-index</math> |<math>O(n^2\log{n})</math> |- |<math>gD53</math> |<math>O(n\log{n})</math> | | |}мераИз всех рассмотренных мер, меры <math>Sym</math>, <math>gD41</math>, <math>OS</math> и <math>COP</math> наиболее полно соответствуют когнитивному представлению асессоров о качестве кластеризации<ref># [https://ieeexplore.ieeestepik.org/abstractlesson/document209692/7891855 Towards cluster validity index evaluation and selectionstep/8?unit=183196]</ref>Лекция на www.stepik.org о метриках качества, примеры

* [[КластеризацияОценка качества в задаче кластеризации]]* [[Оценка качества в задачах классификации и регрессии]Кросс-валидация]^{[на 28.01.19 не создан]}

# [https://encompscicenter.wikipedia.orgru/media/wikicourses/Category:Clustering_criteria Wikipedia {{2018-autumn/spb-recommendation/materials/lecture02-}} Category:Clustering criterialinregr_1.pdf]Соколов Е.А. Лекция линейная регрессия# [http://synthesis.ipiwww.acmachinelearning.ru/sigmodwiki/seminarimages/sivogolovko201111245/59/PZAD2016_04_errors.pdf Сивоголовко Е] - Дьяконов А. В. Методы оценки Функции ошибки / функционалы качества четкой кластеризации]# [httphttps://wwwforecasting.cssvetunkov.kent.eduru/etextbook/~jinforecasting_toolbox/DM08models_quality/ClusterValidation.pdf Cluster Validation]- Оценка качества прогнозных моделей# [https://linkshtem.springer.comru/article%D0%BE%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0-%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0/10.1023/A] - HeinzBr Ошибка прогнозирования:1012801612483 Halkidiвиды, M.формулы, Batistakis, Yпримеры# [https://habr., Vazirgiannis, M., 2001. On clustering validation techniques. Journal of intelligent information systems, 17(2-3), pp.107com/ru/company/ods/blog/328372/] -145.]egor_labintcev Метрики в задачах машинного обучения# [https://eurekamaghabr.com/pdfru/post/19657/] - grossu Методы оценки качества прогноза# [http:/008/008337083www.machinelearning.pdf Pal, Nru/wiki/index.Rphp?title=%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F] - К., Biswas, JВ.Воронцов, 1997Классификация# [http://www. Cluster validation using graph theoretic conceptsmachinelearning. Pattern Recognition, 30(6), ppru/wiki/index.847php?title=CV] -857К.В.] == Примечания ==Воронцов, Скользящий контроль

[[Категория:КластеризацияКлассификация]][[Категория:Регрессия]]