Список заданий по ДМ 2021 осень

1. Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
2. Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
3. Постройте пример отношения, которое не симметрично и не антисимметрично
4. Постройте пример отношения, которое симметрично и антисимметрично
5. Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
6. Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
7. Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
8. Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
9. Напомним, что композиция отношений $R$ и $S$ это отношение $T=RS$, где $xTy$, если найдется $z$, такой что $xRz$ и $zSy$. Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивной их композиция?
10. Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричной их композиция?
11. Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
12. Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
13. Докажите, что $(RS)^{-1} = S^{-1}R^{-1}$.
14. Композицией функций $f : A \to B$ и $g : B \to C$ называется $g \circ f$, что $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Докажите, если $f$ и $g$ инъективны/сюръективны/биективны, то то же свойство верно и для их композиции.
15. Отношение $R \subseteq A \times B$ называется функциональным, если $R^{-1} R \subseteq I$. Правда ли, что если $R \subseteq A \times B$ и $S \subseteq B \times C$ функциональны, то $RS \subseteq A \times C$ функционально?
16. Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $a + d = b + c$ на ${\mathbb N} \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
17. Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
18. Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
19. Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
20. СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
21. Стрелка Пирcа (NOR) - булева функция $a \downarrow b = \neg (a \vee b)$. Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через стрелку Пирса
22. Штрих Шеффера (NAND) - булева функция $a \uparrow b = \neg (a \wedge b)$. Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через штрих Шеффера
23. Функция $f$ называется самодвойственной, если $f(\neg x_1, \ldots, \neg x_n) = \neg f(x_1, \ldots, x_n)$. Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргументов?
24. Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
25. Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\to y, {\mathbf 0}\}$?
26. Медиана $\langle xyz\rangle$, также известная как функция большинства или функция голосования, равна 1, если из трех ее аргументов хотя бы два равны 1. Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{\langle xyz\rangle, \neg x\}$?
27. Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$?
28. Можно ли выразить "и" через "или"?
29. Можно ли выразить $\oplus$ через $=$?
30. Медиана $2n+1$ булевского значения равна 1 если и только если среди аргументов больше 1. Выразите медиану 5 через медиану 3
31. Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
32. Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и", "или", "не" - пороговые функции.
33. Приведите пример непороговой функции. Поясните, почему из предыдущего номера не следует, что любая функция является пороговой.
34. Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
35. КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
36. Расссмотрим функцию $f$, построим ее СДНФ. Заменим в этой формуле все $\vee$ на $\wedge$ и наоборот. Получится СКНФ некоторой функции $g$. Для каких функций $f$ выполнено $f=g$?
37. Для каждого класса Поста проверьте, существует ли функция, которая лежит в этом классе Поста, но не лежит ни в одном из четырех других.
38. Для каждого класса Поста проверьте, существует ли функция, которая не лежит в этом классе Поста, но лежит в четырех остальных.
39. Будем говорить, что функция существенно зависит от переменной $x_i$, если существует два набора аргументов, различающихся только значением $x_i$, на которых функция принимает различные значения. Сколько существует булевых функций от $n$ аргументов, существенно зависящих от всех аргументов? Достаточно привести рекуррентную формулу.
40. Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая лежит во всех 5 классах Поста.
41. Приведите пример функции, существенно зависящей хотя бы от 3 аргументов, которая не лежит ни в одном классе Поста.
42. Булева функция $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется форсируемой, если существует такое назначение $x_i=const$ , что для любых значений других переменных значение функции является константой. Например, $x_1 \wedge x_2$ является форсируемой, поскольку при $x_1 = 0$ значение функции равно 0 для любого значения $x_2$. Для каждой функции от двух переменных определите, является ли она форсируемой.
43. Булева функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке ее переменных. Сколько существует симметричных функций от $n$ переменных?
44. Какие симметричные булевы функции являются пороговыми?
45. Докажите, что любую функцию от $n$ переменных можно представить с использованием стрелки Пирса формулой, длиной не больше чем $2^n\cdot poly(n)$, где $poly(n)$ - полином, общий для всех функций
46. Докажите, что любую монотонную функцию можно выразить через "и", "или", 0 и 1.
47. Докажите, что любую монотонную самодвойственую функцию можно выразить через медиану
48. Говорят, что формула находится в 2-КНФ (или форме Крома). если она имеет вид $(t_{11}\vee t_{12})\wedge(t_{21}\vee t_{22})\wedge\ldots$, где $t_{ij}$ представляет собой либо переменную, либо ее отрицание (в каждом дизъюнкте ровно два терма). Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома (в виде 2-КНФ), то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$
49. Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома.
50. Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна, то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$
51. Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна
52. Докажите, что $x_0\oplus x_1\oplus\ldots\oplus x_{2m} = \langle \neg x_0,s_1,s_2,\ldots,s_{2m}\rangle$, где $s_j=\langle x_0,x_j,x_{j+1},\ldots,x_{j+m-1},\neg x_{j+m},\neg x_{j+m+1},\ldots,\neg x_{j+2m-1}\rangle$, для удобства $x_{2m+k}$ обозначет то же, что и $x_k$ для $k \ge 1$.
53. Докажите, что биномиальный коэффициент $C_n^k$ нечетен тогда и только тогда, когда в двоичной записи $k$ единицы стоят только на тех позициях, где в двоичной записи $n$ также находятся единицы (иначе говоря, двоичная запись $k$ доминируется двоичной записью $n$ как двоичным вектором).
54. Докажите "метод треугольника" построения полинома Жегалкина по таблице истинности.
55. Постройте схему из функциональных элементов для операции медиана трех над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
56. Постройте схему из функциональных элементов для операции $x \oplus y \oplus z$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$, используя не более 8 элементов. Элемент для "не" также считается.
57. Определим глубину схемы как максимальное число функциональных элементов на пути от входа до выхода в этой схеме. Предложите способ построить схему для функции $x_1 \oplus ... \oplus x_n$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$ с линейным числом элементов и глубиной $O(\log n)$.
58. Докажите, что для функции "большинство из $2n+1$" существует схема из функциональных элементов глубины $O(\log n)$
59. Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(n2^n)$ элементов.
60. Докажите, что любую булеву функцию от $n$ аргументов можно представить схемой из функциональных элементов, содержащей $O(2^n)$ элементов.
61. Докажите, что не существует схем константной глубины для функций $x_1 \vee ... \vee x_n$, $x_1 \wedge ... \wedge x_n$, $x_1 \oplus ... \oplus x_n$.
62. Докажите формулу разложения Шеннона по переменной $x$: $f(x, y_2, y_3, \ldots, y_n)=x\wedge f(1, y_2, y_3, \ldots, y_n)\vee \neg x\wedge f(0, y_2, y_3, \ldots, y_n)$
63. Для булевых векторов $\alpha$ и $\beta$ обозначим как $\alpha\vee\beta$ побитовое $\vee$ этих векторов, аналогично введём $\alpha \wedge \beta$. Обозначим как $\succeq$ отношение доминирования на булевых векторах, $\alpha\succeq\beta$, если для всех $i$ выполнено $a_i\ge b_i$. Докажите, что $\alpha \wedge \beta$ удовлетворяет свойству, что $(\alpha \succeq\gamma)\wedge(\beta \succeq \gamma) \Leftrightarrow (\alpha\wedge\beta)\succeq \gamma$. Докажите, что $\alpha \vee \beta$ удовлетворяет свойству, что $\left((\gamma \succeq \alpha) \wedge (\gamma \succeq \beta)\right) \Leftrightarrow \gamma\succeq(\alpha\vee\beta)$.
64. Докажите равенства $\alpha \wedge(\beta\vee\gamma)=(\alpha \wedge\beta)\vee(\alpha\wedge\gamma)$ и $\alpha \vee(\beta\wedge\gamma)=(\alpha \vee\beta)\wedge(\alpha\vee\gamma)$.
65. Будем говорить, что булевый вектор $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ префиксно мажорирует вектор $\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$, если для любого $k$ выполнено $a_1+\ldots+a_k \ge b_1+\ldots+b_k$ и писать $\alpha \ge_p \beta$. Докажите, что отношение $\ge_p$ является частичным порядком.
66. Докажите. что $\alpha$ префиксно мажорирует $\beta$ тогда и только тогда, когда $\overline{\beta}$ префиксно мажорирует $\overline{\alpha}$ ($\overline{\alpha}$ означает побитовую инверсию).
67. Докажите, что для любых двух векторов $\alpha$ и $\beta$ существует и единственный вектор $\alpha \curlywedge \beta$, такой что $((\alpha \ge_p \gamma) \wedge (\beta \ge_p \gamma)) \Leftrightarrow (\alpha\curlywedge\beta)\ge_p\gamma$. Предложите алгоритм построения такого вектора.
68. Докажите, что для любых двух векторов $\alpha$ и $\beta$ существует и единственный вектор $\alpha \curlyvee \beta$, такой что $((\gamma \ge_p \alpha) \wedge (\gamma \ge_p \beta)) \Leftrightarrow \gamma\ge_p(\alpha\curlyvee\beta)$. Предложите алгоритм построения такого вектора.
69. Докажите равенства $\alpha \curlywedge(\beta\curlyvee\gamma)=(\alpha \curlywedge\beta)\curlyvee(\alpha\curlywedge\gamma)$ и $\alpha \curlyvee(\beta\curlywedge\gamma)=(\alpha \curlyvee\beta)\curlywedge(\alpha\curlyvee\gamma)$.
70. Будем называть функцию $f$ регулярной, если из $x \le_p y$ следует, что $f(x) \le f(y)$. Как связаны регулярные и монотонные функции?
71. Докажите, что если функция $f$ является пороговой и $a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_n \ge 0$, то $f$ является регулярной.
72. Опишите алгоритм, выполняющий преобразование Мебиуса, который работает за время $O(3^n)$.
73. Опишите алгоритм, выполняющий преобразование Мебиуса, который работает за время $O(2^n n)$.
74. Мультиплексором называется схема, которая имеет $2^n+n$ входов и один выход. Обозначим входы как $x_0, x_1, \ldots, x_{2^n-1}, y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$. На выход подается то же, что подается на вход $x_i$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для мультиплексора.
75. Дешифратором называется схема, которая имеет $n+1$ входов и $2^n$ выходов. Обозначим входы как $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, x$, а выходы как $z_0, z_1, \ldots, z_{2^n-1}$. На все выходы подается 0, а на выход $z_i$ то же, что подается на вход $x$, где $i$ - двоичное число, которое кодируется входами $y_0, \ldots, y_{n-1}$. Постройте схему линейного (от суммарного количества входов и выходов) размера для дешифратора.
76. Предложите схему для сравнения целых чисел без знака глубины $\log n$.
77. Предложите схему для сравнения целых чисел со знаком в дополнительном кодае глубины $\log n$.
78. В матричном умножителе вместо элементов "и" поставили элементы "или". Можно ли получить с помощью этого умножителя произведение чисел, используя $O(n)$ дополнительных элементов? Вы можете добавить эти элементы в произвольные места в схеме для умножителя.
79. Контактной схемой называется ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание (ребра в контактных схемах называют контактами, а вершины - полюсами). Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда замкнутыми называются ребра, на которых записана 1, ребра, на которых записан 0, называются разомкнутыми. Зафиксируем две вершины $u$ и $v$. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию $f$ между вершинами $u$ и $v$, равную 1 на тех наборах переменных, на которых между $u$ и $v$ есть путь по замкнутым ребрам. Постройте контактные схемы для функций "и", "или" и "не".
80. Постройте контактную схему для функции "xor".
81. Постройте контактную схему для функции медиана трех.
82. Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой.
83. Постройте контактную схему "xor от $n$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
84. Постройте контактную схему "большинство из $2n+1$ переменных", содержащую $O(n^2)$ ребер.
85. Постройте контактную схему, в которой для каждого из $2^n$ наборов дизъюнкций переменных и их отрицаний есть пара вершин, между которыми реализуется эта дизъюнкция, используя $O(2^n)$ ребер.
86. Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой, содержащей $O(2^n)$ ребер.
87. Приведите пример формулы, которая одновременно (а) равна тождественному нулю (б) находится в форме Хорна (в) находится в форме Крома (г) содержит хотя бы 3 переменные
88. Предложите алгоритм, который по заданной своей таблицей истинности $n$-арной булевой функции строит за полином от $2^n$ монотонную булеву функцию, которая одновременно (а) мажорирует заданную на каждом входном наборе (б) имеет минимальное число входных наборов, на которых она равна 1.
89. Формулы с кванторами. Рассмотрим формулу с кванторами $Qx_1Qx_2\ldots Qx_n f(x_1, \ldots, x_n)$, где $Q$ может быть квантором "существует" или "для любого". Докажите, что если если $f(x_1,\ldots,x_n)$ имеет ровно $k$ удовлетворяющих её назначений переменных, то существует ровно $k$ (из $2^n$ возможных) формул с кванторами в указанной форме, которые являются истинными.
90. Дана формула в КНФ. Можно каждое вхождение переменной x заменить на её отрицание. Необходимо добиться, чтобы формула после этих преобразований оказалась в форме Хорна. Предложите алгоритм, который сводит эту задачу к задаче 2SAT.
91. Свести 3SAT к проверке существования удовлетворяющего назначения для формулы, которая является конъюнкцией клозов, каждый из которых является либо клозом Хорна, либо клозом Крома
92. Найдите в интернете частоты букв в английских текстах и постройте код Хаффмана для этих частот. Придумайте, как продемонстрировать результат и сравните получившийся код с кодом постоянной длины.
93. Найдите в интернете частоты букв в русских текстах и постройте код Хаффмана для этих частот. Придумайте, как продемонстрировать результат и сравните получившийся код с кодом постоянной длины.
94. Возьмите большой несжатый файл (например, изображение .bmp) и посчитайте частоты всех возможных 256 байтов в этом файле. Постройте код Хаффмана для этих частот
95. Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 2, ..., 2^{n-1}$ (степени двойки) ?
96. Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 1, 2, 3, ..., F_{n-1}$ (числа Фибоначчи)?
97. Докажите, что если размер алфавита - степень двойки и частоты никаких двух символов не отличаются в 2 или более раз, то код Хаффмана не лучше кода постоянной длины
98. Модифицируйте алгоритм Хаффмана, чтобы строить $k$-ичные префиксные коды (коды, использующие алфавит не из двух символов, а из $k \ge 2$). Докажите корректность.
99. Укажите, как построить дерево Хаффмана за $O(n)$, если символы уже отсортированы по частоте
100. Предложите способ хранения информации об оптимальном префиксном бинарном коде для n-символьного алфавита, использующий не более $2n - 1 + n \lceil\log_2(n)\rceil$ бит ($\lceil x\rceil$ - округление $x$ вверх)
101. Приведите пример однозначно декодируемого бинарного кода оптимальной длины, который не является ни префиксным, ни развернутым префиксным (после разворота всех слов он тоже не становится префиксным)
102. Для каких префиксных кодов существует строка, для которой он является кодом Хаффмана? Предложите алгоритм построения такой строки.
103. Дан набор частот $p_1, p_2, \ldots, p_n$, $p_i \ge 0$, $\sum\limits_i p_i = 1$. Докажите, что существует префиксный код, где длина $i$-го кодового слова равна $\lceil \log_2 (\frac 1{p_i}) \rceil$.
104. Обозначим $H(p_1, \ldots, p_n) = \sum\limits_{i=1}^n p_i \log_2 ( \frac 1{p_i} )$. Докажите, что длина кода из прошлой задачи (в этом контексте ее стоит понимать, как "среднее количество бит, затраченное на случайный символ") не превосходит $H(p_1, \ldots, p_n) + 1$.
105. Пусть заданы пары $(u_i, v_i)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что существует код Хаффмана для некоторой строки, в котором $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц.
106. Докажите, что если в коде Хаффмана для некоторой строки $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц, то для многочлена от двух переменных $f(x, y) = \sum_{i=1}^n x^{u_i}y^{v_i}$ выполнено $f(x, y) - 1 = (x + y - 1) g(x, y)$ для некоторого многочлена $g(x, y)$.
107. Изучите коды Шеннона-Фано https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A8%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A4%D0%B0%D0%BD%D0%BE. Приведите пример текста, для которого код Шеннона-Фано хуже кода Хаффмана.
108. Предложите алгоритм проверки того, что заданный двоичный код является однозначно декодируемым. Алгоритм должен работать за полином от суммы длин кодовых слов.
109. Обобщите алгоритм Хаффмана для "сжатых" алфавитов, заданных в следующем виде: дано $n$ пар $(k_i, f_i)$, означающих, что в алфавите присутствует $k_i$ символов с частотой $f_i$. Придумайте, как за полиномиальное время найти длину кода Хаффмана для такого алфавита и оцените время работы алгоритма.
110. Верно ли, что если длины кодовых слов некоторого кода удовлетворяют неравенству Крафта-МакМиллана, то это код является однозначно декодируемым?
111. Петя утверждает, что он разработал однозначно декодируемый код $c$, в котором для каждой строки $x$ длина её кода $c(x)$ не больше длины $x$, а хотя бы для одной длина кода строго меньше. Прокомментируйте результат Пети.
112. Вася утверждает, что он разработал однозначно декодируемый код $c$, в котором для некоторого $n$ хотя бы для половины строк $x$ длины не больше $n$ длина кода $c(x)$ строго меньше длины $x$. Прокомментируйте результат Васи.
113. Пусть вероятности символов упорядочены по убыванию ($p_1 \ge p_2 \ge \ldots \ge p_n$) и являются дробями, у которых знаменатель - степень двойки. Что можно сказать про арифметическое кодирование в этом случае?
114. Докажите, что для любого $c > 1$ существует распределение частот $p_1, p_2, .., p_n$, что арифметическое кодирование в среднем тратит в $c$ раз меньше бит на символ строки, чем код Хаффмана.
115. Докажите, что при оптимальном кодировании с помощью LZ не выгодно делать повтор блока, который можно увеличить вправо
116. Разработайте алгоритм оптимального кодирования текста с помощью LZ, если на символ уходит $c$ бит, а на блок повтора $d$ бит
117. Предложите семейство строк $S_1, S_2, \ldots, S_n, \ldots$, где $S_i$ имеет длину $i$, таких, что при их кодировании с помощью LZW длина строки увеличивается. Начальный алфавит $\{0, 1\}$.
118. Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера.
119. Предложите алгоритм декодирования кода Барроуза-Уиллера за $O(n)$.
120. Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n \log n)$.
121. Предложите реализацию преобразования Move to Front за $O(n)$.
122. Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 3 битов
123. Разработайте код, исправляющий две ошибки, использующий асимптотически не более $2n$ бит для кодирования $2^n$ символьного алфавита (для $n>n_0$)
124. Разработайте оптимальный код, исправляющий одну ошибку при пересылке сообщения из 3 битов, где возможны следующие ошибки: удаление одного бита, замена одного бита на противоположный. Таким образом, при отправке сообщения длины $l$ может быть получено либо сообщение длины $l$, в котором не более одного бита исправлено на противоположный, либо сообщение длины $l - 1$, в котором все биты верные, но одного бита, неизвестно, какого, не хватает.
125. Разработайте оптимальный код, исправляющий одну ошибку при пересылке сообщения из 3 битов, где возможны следующие ошибки: добавление одного бита, замена одного бита на противоположный. Таким образом, при отправке сообщения длины $l$ может быть получено либо сообщение длины $l$, в котором не более одного бита исправлено на противоположный, либо сообщение длины $l + 1$, в котором все биты верные, а также добавлен еще один, неизвестно, какой, бит.
126. Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую непустую двоичную строку длиной не больше $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на один символ?
127. Кодирование с ошибками. Пусть разрешается при декодировании неверно раскодировать не более одного бита. Можно ли каждую двоичную строку длиной от 2 до $n$ сжать, чтобы её размер уменьшился хотя бы на два символа?
128. Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
129. Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
130. Докажите, что $g_{i \oplus j} = g_i \oplus g_j$.
131. Выведите формулу, которая по кодовому слову возвращает его позицию в зеркальном коде Грея (аналог формулы из задания 128)
132. Разработайте код Грея для $k$-ичных векторов
133. При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
134. При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
135. Код "антигрея" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
136. Троичный код "антигрея" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
137. При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
138. Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
139. Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
140. Сколько существует векторов длины $n + 1$, содержащих каждое число от $1$ до $n$ хотя бы по одному разу?
141. Выведите рекуррентную формулу для числа комбинаторных объектов: вектор длины $2n$, в котором каждое число от $1$ до $n$ встречается ровно два раза.
142. Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
143. Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
144. Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления размещений, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
145. Докажите, что существует способ упорядочить все двоичные вектора длины $n$, чтобы любые два соседних отличались в не более, чем двух позициях, а количество единиц в $i$-м векторе не превосходило количество единиц в $j$-м векторе при $i < j$.
146. Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
147. Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
148. Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 1 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, нулевой разряд не используется). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
149. Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
150. Выразите $n \choose k$ через $n-1 \choose k-1$, $n$ и $k$.
151. Выразите $n \choose k$ через $n-1 \choose k$, $n$ и $k$.
152. Докажите, что ${n \choose m}{m \choose k}={n \choose k}{n-k \choose m - k}$.
153. Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {m+k \choose k}={m+n+1 \choose n}$.
154. Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {k \choose m}={n+1 \choose m+1}$.
155. Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^n {r \choose k}{s \choose n - k}={r+s \choose n}$.
156. Докажите, что $\sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}\left(\frac{r}{2} - k\right)=\frac{m+1}{2}{r \choose m+1}$. // Забавно, что нет простого выражения для $\sum\limits_{k=0}^m {r \choose k}$.
157. Обобщите формулу бинома Ньютона на степень суммы трёх: $(x+y+z)^n=?$
158. Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n - k}={r+s \choose m+n}$. В этом и следующих заданиях сумма берётся по всем допустимым целым $k$.
159. Докажите, что $\sum\limits_k{r \choose m + k}{s \choose n + k}={r+s \choose r-m+n}$
160. Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r \choose m + k}{s+k \choose n}=(-1)^{r+m}{s-m \choose n-r}$
161. Докажите, что $\sum\limits_k(-1)^k{r-k \choose m}{s \choose k-n}=(-1)^{r+n}{s-m-1 \choose r-m-n}$
162. Докажите, что $\sum\limits_k{m-r+s\choose k}{n+r-s \choose n-k}{r+k \choose m+n}={r \choose m}{s \choose n}$
163. Вычислите сумму $\sum\limits_{k=0}^m{m \choose k}/{n \choose k}$.
164. Докажите, что $\sum\limits_k {n - k \choose k} = F_n$ ($n$-е число Фибоначчи).
165. Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n}$.
166. Докажите, что число различных триангуляций правильного $n$-угольника равно числу Каталана. В этом и нескольких следующих заданиях номер соответствующего числа Каталана может отличаться от $n$, требуется также установить соответствие между размером задачи и номерами чисел Каталана.
167. (для 31-35) Докажите, что число подвешенных деревьев с порядком на детях с $n$ вершинами равно числу Каталана.
168. Будем называть последовательность сортируемой стеком, если ее можно отсортировать, используя в произвольном порядке следующие операции: (а) взять первый элемент входной последовательности и положить в стек (б) взять верхний элемент стека и отправить в конец выходной последовательности. Докажите, что число перестановок $n$ элементов, сортируемых стеком, равно число Каталана.
169. Докажите, что число перестановок $n$ элементов, в которых нет возрастающей последовательности длины 3, равно числу Каталана.
170. Докажите, что число способов расставить числа от 1 до $2n$ в прямоугольник $2 \times n$, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце возрастали, равно числу Каталана.
171. Докажите, что число разбиений вершин $2n$-угольника на пары непересекающимися хордами равно числу Каталана.
172. Докажите, что число мультимножеств из $n$ чисел от $0$ до $n$, сумма которых делится на $n+1$, равно числу Каталана.
173. Укажите способ подсчитать число разбиений заданного $n$-элементного множества на $k$ упорядоченных непустых подмножеств (например, для $n = 3$, $k = 2$ есть следующие разбиения: $\{[1], [2, 3]\}$, $\{[1], [3, 2]\}$, $\{[1, 2], [3]\}$, $\{[1, 3], [2]\}$, $\{[2, 1], [3]\}$, $\{[2], [3, 1]\}$.
174. Подъемом в перестановке называется пара соседних элементов, таких что $a_{i-1} < a_i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ подъемами.
175. Сюръекцией называется такая функция $f : X \to Y$, что для каждого элемента $y \in Y$ существует $x \in X$, что $f(x) = y$. Придумайте рекуррентную формулу для числа сюръекций из $\{1..n\}$ в $\{1..k\}$.
176. Выведите другую формулу для числа сюръекций, используя формулу включений-исключений. Свяжите число сюръекций с числами Стирлинга второго рода.
177. Найдите число сочетаний из $n$ по $k$, что любые два выбранных числа отличаются как минимум на $d$.
178. Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые.
179. Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетное число слагаемых.
180. Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на различные слагаемые.
181. Докажите, что число разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые и число разбиений числа $n$ на различные слагаемые совпадает.
182. Для каких $n$ число разбиений $n$ на чётное число различных слагаемых и число разбиений $n$ на нечётное число различных слагаемых различно?
183. Докажите формулу $t^{\overline{n}}=\sum\limits_{k=0}^n\left[n\atop k\right]t^k$, где $t^{\overline{n}} = t(t+1)\ldots(t+n-1)$ называется "$n$-й восходящей факториальной степенью $t$".
184. Докажите формулу $t^n=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^{n-k}\left\{n\atop k\right\}t^{\overline k}$.
185. Придумайте аналогичные двум предыдущим заданиям формулы для $t^{\underline{n}} = t(t-1)\ldots(t-(n-1))$ ($t^{\underline{n}}$ называется "$n$-й нисходящей факториальной степенью $t$").
186. Неподвижной точкой в перестановке называется элемент $a_i = i$. Беспорядком называется перестановка без неподвижных точек. Найдите число беспорядков длины $n$ с помощью формулы включений-исключений.
187. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ циклами без неподвижных точек.
188. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ неподвижными точками. Не пользуйтесь формулой для подсчета беспорядков, придумайте именно рекуррентную формулу.
189. Префиксным максимумом в перестановке называется элемент, который больше всех предыдущих. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок размера $n$ с $k$ префиксными максимумами.
190. Транспозицией называется перестановка, которая имеет один цикл длины $2$ и остальные элементы являются неподвижными точками. Перестановка называется чётной, если ее можно представить в виде произведения чётного числа транспозиций. Докажите, что если перестановку можно представить в виде произведения циклов длины 3, то она является чётной.
191. Транспозиция называется элементарной, если она переставляет местами два соседних элемента. Докажите, что перестановка является чётной тогда и только тогда, когда любое ее представление в виде произведения элементарных транспозиций содержит чётное число сомножителей.
192. Докажите, что перестановка является чётной тогда и только тогда, когда любое ее представление в виде произведения транспозиций содержит чётное число сомножителей.
193. Докажите, что число четных перестановок равно $\frac {n!}{2}$ при $n \ge 2$.
194. Инверсией в перестановке $a$ называется пара индексов $i < j$, для которой $a_i > a_j$. Докажите, что перестановка является чётной тогда и только тогда, когда она содержит чётное число инверсий.
195. Докажите, что перестановка является чётной тогда и только тогда, когда $n - c$ четно, где $c$ - число циклов в перестановке.
196. Докажите, что множество четных перестановок с операцией композиции образует группу.
197. Есть две перестановки: первая меняет местами первые два элемента, а вторая делает циклический сдвиг на один. Покажите, что любую перестановку можно выразить, как композицию этих двух (возможно, используя каждую несколько раз).
198. Перестановка $[a_1, a_2, \ldots, a_n]$ называется пилообразной, если $a_1 > a_2 < a_3 > a_4 \ldots a_n$. Найдите количество пилообразных перестановок (можно получить формулу с $O(n)$ слагаемыми или рекуррентную формулу)
199. Перестановка $[a_1, a_2, \ldots, a_n]$ называется неразложимой, если у нее ни для какого $0 < k < n$ нет префикса длины $k$, который является перестановкой чисел от 1 до $k$. Найдите количество неразложимых перестановок (можно получить формулу с $O(n)$ слагаемыми или рекуррентную формулу)
200. Сопряжением перестановки $\alpha$ относительно перестановки $\tau$ называется перестановка $\tau^{-1}\alpha\tau$. Две перестановки $\alpha$ и $\beta$ называются сопряженными, если существует такая перестановка $\tau$, что $\beta = \tau^{-1}\alpha\tau$. Докажите, что сопряжение является отношением эквивалентности.
201. Докажите, что две перестановки являются сопряженными тогда и только тогда, когда их циклические классы совпадают.
202. В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Докажите, что композиция отражения и поворота является отражением.
203. В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Докажите, что композиция двух отражений является поворотом.
204. В вершинах правильного $n$-угольника записаны числа от $1$ до $n$. Рассмотрим две операции: поворот на угол $2\pi i/n$ и отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника, после которого вершины оказываются в тех же точках. Зафиксируем конкретную прямую, относительно которой можно делать отражение. Докажите, что композиция любой последовательности отражений и поворотов является либо поворотом, либо композицией поворота и отражения относительно зафиксированной прямой.
205. Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок $k$ цветов с точностью до циклического сдвига и отражения.
206. Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига, в которых ровно две белые бусины.
207. Выведите формулу для числа ожерелий из $n$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига, в которых ровно $k$ белых бусин.
208. Пусть $p$ простое. Найдите число ожерелий из $p^2$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига.
209. Пусть $p$ и $q$ простые. Найдите число ожерелий из $pq$ бусинок 2 цветов с точностью до циклического сдвига.
210. Найдите число таких различных булевых функций от 2 переменных, что ни одна из них не может быть получена ни из какой другой навешиванием отрицаний над некоторыми переменными
211. Найдите число таких различных булевых функций от $n$ переменных, что ни одна из них не может быть получена ни из какой другой навешиванием отрицаний над некоторыми переменными
212. Выведите формулу для числа раскрасок $n$ шаров в $k$ цветов, порядок не важен.
213. Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника $n \times m$ в $k$ цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси.
214. Выведите формулу для числа раскрасок граней тетраэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
215. Выведите формулу для числа раскрасок ребер тетраэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
216. Выведите формулу для числа раскрасок граней куба в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
217. Выведите формулу для числа раскрасок ребер куба в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
218. Выведите формулу для числа раскрасок граней октаэдра в $k$ цветов с точностью до любого поворота в 3D.
219. Почему мы не сделали задачу про вершины тетраэдра, вершины куба, вершины и ребра октаэдра? Неужели оставили на контрольную?