1632
правки
Изменения
м
'''Теорема о временной иерархии''' утверждает, что для Пусть можно просимулировать <tex>n</tex> шагов машины Тюринга на другой машине Тьюринга за время <tex>t(n)</tex>. Для любых двух [[Конструируемая по времени функция|конструируемых по времени функций]] <tex>f\,\!</tex> и <tex>g\,\!</tex> таких, что <tex> \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{t(f(n))/}{g(n) } = 0</tex>, выполняется <tex>'''DTIME'''(''g''(''n'')) \&ne ; '''DTIME'''(''f''(''n''))</tex>.
rollbackEdits.php mass rollback
== Формулировка ==
== Доказательство ==
Зафиксируем <mathtex>f\,\!</mathtex> и <mathtex>g\,\!</mathtex>.
Рассмотрим язык <tex>L = \{ \langle m,x \rangle \mid m( \langle m,x \rangle)</tex> не допускает, работая не более <tex> f(| \langle m,x \rangle |)\,\!</tex> времени <tex>\}\,\!</tex> .
Пусть <tex>L \in DTIME(f)</tex>, тогда для него есть машина Тьюринга <tex>m_0\,\!</tex> такая, что <tex>L(m_0)=L\,\!</tex>.
Рассмотрим <tex>m_0( \langle m_0,x \rangle )\,\!</tex>.
Пусть <tex>m_0\,\!</tex> допускает <tex> \langle m_0,x \rangle \,\!</tex>. Тогда <tex> \langle m_0,x \rangle \in L</tex>, в силу определения <tex>m_0\,\!</tex>. Но в <tex>L</tex> по определению не может быть пары <tex> \langle m_0,x \rangle \,\!</tex>, которую допускает <tex>m_0\,\!</tex>, так как <tex>m_0 \in DTIME(f)</tex>. Таким образом, получаем противоречие.
Если <tex>m_0\,\!</tex> не допускает <tex> \langle m_0,x \rangle \,\!</tex>, то <tex> \langle m_0,x \rangle ,\!</tex> не принадлежит языку <tex>L\,\!</tex>. Это значит, что либо <tex>m_0\,\!</tex> допускает <tex> \langle m_0,x \rangle \,\!</tex>, либо не допускает, работая больше времени <tex>f(| \langle m_0,x \rangle |)\,\!</tex>. Но <tex>L \in DTIME(f)</tex>, поэтому <tex>m_0\,\!</tex> на любом входе <tex>x\,\!</tex> работает не более <tex>f(|x|)\,\!</tex> времени. Получаем противоречие.
Следовательно такой машины не существует. Таким образом, <tex>L \notin DTIME(f)</tex>.
<tex>L \in DTIME(g)</tex>. Возьмеме Возьмем такую машину Тьюринга <tex>m_1\,\!</tex>, которой дается на вход пара <mathtex><\langle m_2,x> \rangle \in L</mathtex> и она симулирует нужное количество <tex>f(| \langle m_2,x \rangle |)</tex> шагов машины <tex>m_2\,\!</tex> на входе <tex>x\,\!</tex>. Если <tex>m_2\,\!</tex> завершила работу и не допустила, то <tex>m_1\,\!</tex> допускает <tex><\langle m_2,x>\,\!rangle </tex>. В другом случае не допускает. <tex>L(m_1) = L</tex> и <tex>m_1\,\!</tex> будет работать не более <tex>g(|<\langle m_2,x>\rangle |)</tex> времени, так как по условию <tex> \lim \limits_{n \rightarrow \,infty} \!frac{t(f(n))}{g(n)} = 0</tex> времени.
Получается, что <tex>L \in DTIME(g(n)) \setminus DTIME(f(n))</tex> и <tex>L \neq \emptyemptyset</tex>. Следовательно, <tex>DTIME(g(n)) \neq DTIME(f(n))</tex>
Теорема доказана.
