Изменения

{{Определение|definition=Если непустое подмножество <tex>H</tex> элементов [[группа|группы]] <tex>G</tex> оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то <tex>H</tex> образует группу и называется '''подгруппой''' группы <tex>G</tex>::<tex>\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H</tex>:<tex>\forall a\in H : a^{-1}\in H</tex>:<tex>\exists a\in H \Rightarrow e= Подгруппа ==a\cdot a^{-1} \in H</tex>}}

Если непустое подмножество === Примеры ===* Подмножество <tex>Hn\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}</tex> элементов группы является подгруппой в <tex>G\mathbb{Z}</tex> для любого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элементасложения.* Группа <tex>G=\{m\vert m\in\mathbb{Z}\</tex>, то <tex>Hm</tex> <tex>mod</tex> <tex>5=0\}</tex> образует группу и называется '''является подгруппой''' группы в <tex>G\mathbb{Z}</tex>:.

<tex>\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H</tex>=== Свойства === <tex>\forall a\in H : a^{-1}\in H</tex> <tex>\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H</tex>* [[Теорема о подгруппах циклической группы|Все подгруппы циклической группы являются циклическими]].