1632
правки
Изменения
м
метричиские пространства знаяит[[Категория:Математический анализ 1 курс]] ==Метрика и метрическое пространство== Пусть <tex>X</tex> {{---}} абстрактное [[Множества|множество]]. <tex> X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} </tex> {{---}} прямое произведение множества <tex>X</tex> на себя {{Определение|id=def1|definition=Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex># <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex> # <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника}} Если на <tex>X</tex> определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется ''метрическим пространством'', аббревиатура {{---}} ''МП''. === Примеры метрических пространств === Числовая ось: <tex> X = \mathbb{R}; x, y \in X \Rightarrow \rho (x, y) = |x - y| </tex> <tex> X = \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}}_{n} ; \overrightarrow{x} = (x_1, \dots, x_n) </tex>#<tex> \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| </tex>#<tex> \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| </tex> То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство. == Открытые шары == Для метрических пространств основное значение имеют открытые шары. {{Определение|definition=Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса<tex>\ r\ </tex> в точке <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество <tex> V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>}}=== Пример открытого шара ===На числовой оси: <tex> X = \mathbb{R}: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex> {{Определение|definition=Множество <tex>M \subset X</tex> '''ограничено''', если существуют <tex> a \in X </tex> и <tex> r \in (0; +\infty) </tex>, такие, что <tex>M \subset V_r(a)</tex>. Иначе говоря, множество ограничено, если его можно поместить в открытый шар конечного радиуса.}}=== Свойства шаров ==={{Теорема|about=Основное свойство шаров|statement=Пусть <tex> b \in V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex> <br \> Простыми словами: Если два открытых шара пересекаются, то для любой точки из их пересечения существует открытый шар, лежащий в пересечении и содержащий эту точку.|proof=Замечание: для <tex>X = \mathbb{R}</tex> это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал). Пусть <tex> y \in V_{r}(b)</tex> Для <tex> V_{r_1} </tex>: <tex> \rho (b, a_1) < r_1</tex>: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_1) < r_1 </tex>: <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex>Для <tex> V_{r_2} </tex>: <tex> \rho (b, a_2) < r_2</tex>: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_2) < r_2 </tex>: <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex><tex> r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара }} == Открытые множества == {{Определение|definition=Множество <tex> G \subset X </tex> называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).: <tex> \tau </tex> — класс открытых множеств. : <tex> \tau = \{ G </tex> {{---}} открытые в МП <tex>(X, \rho) \}</tex>}} ===Свойства открытых множеств ===# <tex> X, \varnothing \in \tau </tex> {{---}} все пространство и пустое множество открыты# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \in \tau </tex> — очевидно # <tex> G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau </tex> Доказательство свойства 3:: Докажем для двух множеств. Тогда, очевидно, это будет верно и для <tex>n</tex> множеств.: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>: По основному свойству шаров: <tex> b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta </tex>: Следовательно <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> {{---}} объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> {{---}} тоже объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau</tex> по 2 свойству. Класс <tex> \tau </tex> называется (метрической) топологией на множестве <tex>X</tex>. Если в <tex>X</tex> выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то пара <tex>(X, \tau)</tex> называется ''топологическим пространством''(ТП). В разработкеэтом смысле МП {{---}} частный случай ТП. == Замкнутые множества == {{Определение|definition=Множество <tex>F</tex> называется замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> {{---}} открыто.}} Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств <tex> \tau </tex> двойственен классу замкнутых множеств. === Свойства замкнутых множеств ===# <tex> X, \varnothing </tex> {{---}} замкнуты# Если <tex>\ F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто <tex>\forall \alpha \in A </tex>, то <tex>\bigcap\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто # Если <tex>\ F_1 \dots F_n </tex> {{---}}замкнуты, то <tex> \Rightarrow \bigcup\limits_{j = 1}^n F_j </tex> {{---}} замкнуто == Предел в метрическом пространстве == {{Определение|definition=<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex>, если:# <tex>\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ </tex> , или# <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>: или: <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>, то есть открытый шар радиуса <tex>\ \varepsilon</tex> с центром в точке <tex>\ x</tex>}} {{Теорема|about=Единственность предела|statement=<tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' </tex> в МП<tex>(X, \rho) \Rightarrow x' = x'' </tex>|proof=<tex> \rho(x', x'') \leq \rho(x', x_n) + \rho(x'', x_n) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0 \Rightarrow x' = x'' </tex> На самом деле, этот факт {{---}} свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа: Пусть <tex> (X, \tau) </tex> {{---}} ТП, тогда если <tex> \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :</tex> # <tex> G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex># <tex> a \in G_1; b \in G_2 </tex> Тогда в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа. Частный случай на МП:: <tex> (X, \rho), a \ne b, \rho(b, a) > 0: r = \frac 1 3 \rho(a, b); V_r(a) \cap V_r(b) = \varnothing </tex> , ч.т.д.}} ==Основное характеристическое свойство замкнутых множеств=={{Утверждение|about=В прямую сторону|statement=Если <tex>F</tex> {{---}} замкнуто, то оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей.<br>Если <tex>F</tex> {{---}} замкнуто <tex> \Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>.|proof=<br />: Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>: <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow F \cap V = \varnothing </tex>: <tex> x_n \rightarrow x : \forall \varepsilon > 0 \, \exists N \, \forall n > N : x_n \in V </tex> , что противоречит <tex> x_n \in F (F \cap V = \varnothing) \Rightarrow x \in F </tex>}} {{Утверждение|about=В обратную сторону|statement=Если множество <tex>F</tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто.<br>Если <tex>\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow\ F</tex> {{---}} замкнуто.|proof=Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Достаточно доказать, что <tex> G </tex> {{---}} открытое. Тогда <tex> F </tex> {{---}} [[#Замкнутые множества|по определению]] замкнутое множество. Докажем от противного. Если <tex> G </tex> {{---}} открытое множество, то тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению {{---}} <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> {{---}} открытое множество), причём всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> {{---}} центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> {{---}} его радиус).<br>При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>. Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing </tex> Запишем это формально: <tex> \forall r: F \cap V_r(x) \neq \varnothing</tex>. Определим следующие последовательности:: <tex> r_n = \frac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in (F \cap V_{r_n}(x)) </tex>.: <tex> r_n \rightarrow 0 \Rightarrow x_n \rightarrow x </tex>.Каждый <tex> x_n \in F, x_n \rightarrow x \Rightarrow \{ x_n \} </tex> {{---}} сходящаяся последовательность в <tex> F </tex>. Но, по предположению, <tex> F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а значит <tex> x \in F </tex>. Получили противоречие, значит <tex> G = \overline F </tex> {{---}} открытое множество, а значит <tex> F </tex> {{---}} замкнуто.}} == См. также ==[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%BE%D1%82%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Если интересно - аксиомы отделимости]
rollbackEdits.php mass rollback
