Изменения

{{УтверждениеТеорема|author=Абель-Дирихле|statement=Для равномерной сходимости на множестве <tex>E</tex> ряда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x) b_n(x)</tex> , <tex> a_n:X E \to \mathbb C</tex> и <tex> b_n:X E \to \mathbb R</tex> достаточно, чтобы выполнялась пара условий<tex> \forall x \in E </tex>:

2)Последовательность функций <tex>b_n(x)</tex> монотонна и равномерно сходится к нулю на <tex>E</tex>.

|proof=доказательство Монотонность последовательности <tex>b_n(x)</tex> позволяет при каждом <tex>x \in E</tex> записать оценку: <tex> |\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| \leq 4 max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )</tex>  где <tex> n - 1 \leq k \leq m </tex> и в качестве <tex> A_k(x)</tex> возьмем <tex> S_k(x) - S_{n-1}(x) </tex> . Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная <tex>M</tex>,что <tex>|A_k(x)| \leq M</tex> при любом <tex> k \in N </tex> и любом <tex>x \in E</tex>, а с другой стороны, какого бы ни было число <tex>\varepsilon > 0 </tex>, при всех достаточно больших значениях <tex>m</tex> и <tex>n</tex> и любом <tex> x\in E</tex> будет выполнено неравенство <tex> max( |b_n(x)|, |b_m(x)| ) < \frac{\varepsilon}{4M} </tex>. Значит, что при всех достаточно больших значениях <tex>m</tex> и <tex>n</tex> и любом <tex> x \in E </tex> будет <tex>|\sum\limits_{k = n}^m a_k(x) b_k(x)| < \varepsilon </tex>, т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.