1632
правки
Изменения
м
Остутсвие Отсутствие в <tex> \ell^2 </tex> компактности шаров - принциальное отличие бесконечномерной ситуации.
rollbackEdits.php mass rollback
{{Утверждение
|id=limits
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow x</tex>, <tex>y_n \rightarrow y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
<tex> = \| \alpha \Delta x_n + \Delta \alpha_n x + \Delta \alpha_n \Delta x_n \| \le \| \alpha \Delta x_n \| + \| \Delta \alpha_n x \| + \| \Delta \alpha_n \Delta x_n \| \rightarrow 0</tex>.
3) <tex>\|x_n\| = \|x + (x_n - x)\| \le \|x\| + \|x_n - x\| \Rightarrow \|x_n\| - \|x\| \le \|x_n - x\| </tex>
Аналогично, <tex> \|x\| - \|x_n\| \le \|x_n - x\| </tex>.
Значит, <tex> \left|\|x_n\| - \|x\|\right| \le \|x_n - x\| </tex>, при <tex> \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad \left|\|x_n\| - \|x\|\right| \rightarrow 0</tex>, что и требовалось доказать.
}}
В <tex> \mathbb{R}^n </tex> - любой шар компактен, так как его можно погрузить в компактный параллелепипед.
Из шара можно высверлить бесконечно много дырок одинакового радиуса( <tex>R = \frac{\sqrt2}{10} </tex>) , и он не развалится.
<strike>''КАРТИНОЧКА''</strike> никому не нужна, вы ведь не хотите загреметь в сумашедший сумасшедший дом из-за попытки представить высверливание дырок в бесконечномерном шаре? Вот и славненько.
{{Определение