Многомерное дерево Фенвика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 6 промежуточных версий 4 участников)
Строка 5: Строка 5:
 
# выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию <tex> G </tex> на k-мерном прямоугольнике <tex> [i_1, \ldots ,i_k] </tex>;<br/> где n - максимальное значение для каждой координаты.
 
# выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию <tex> G </tex> на k-мерном прямоугольнике <tex> [i_1, \ldots ,i_k] </tex>;<br/> где n - максимальное значение для каждой координаты.
 
}}
 
}}
Рассмотрим для начала дерево Фенвика на примере k-мерного массива с k = 2, а затем посмотрим, как можно обобщить его на большие размерности.
+
Рассмотрим для начала дерево Фенвика на примере k-мерного массива с <tex>k = 2</tex>, а затем посмотрим, как можно обобщить его на большие размерности.
  
 
Пусть дан массив <tex> A </tex> из <tex> n \times m </tex> элементов: <tex> a_{i,j}</tex>.<br/>
 
Пусть дан массив <tex> A </tex> из <tex> n \times m </tex> элементов: <tex> a_{i,j}</tex>.<br/>
Деревом Фенвика будем называть массив <tex> T </tex> из <tex> n \times m </tex> элементов: <tex> T_{i,j} = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} \sum\limits_{q = F(j)}^{j}a_{k,q}</tex>, где <tex> F(i) = i \& (i + 1) </tex>, как и в одномерном [[дерево Фенвика|дереве Фенвика]].
+
Деревом Фенвика будем называть массив <tex> T </tex> из <tex> n \times m </tex> элементов: <tex> T_{i,j} = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} \sum\limits_{q = F(j)}^{j}a_{k,q}</tex>, где <tex>F(i) = i\; \&\; (i + 1)</tex>, как и в одномерном [[дерево Фенвика|дереве Фенвика]].
  
 
==Пример задачи для двумерного случая==
 
==Пример задачи для двумерного случая==
[[Файл:example42.gif |thumb|600px|right|Пример дерева Фенвика <tex>(16 \times 8)</tex>. Синим обозначены элементы, которые обновятся при изменении ячейки <tex>(5, 3)</tex>. Чтобы обновить элемент <tex>(X, Y)</tex>, по первой координате нам надо зайти во все столбцы(деревья по второй координате), находящиеся левее <tex>X</tex> и на одной горизонтальной линии с ним, и в каждом из них обновить все ячейки под <tex>Y</tex>(в рамках обозначений нашего рисунка).]]
 
 
Пусть имеем набор точек на плоскости с неотрицательными координатами. Определены 3 операции:
 
Пусть имеем набор точек на плоскости с неотрицательными координатами. Определены 3 операции:
 
# добавить точку в <tex>(x, y)</tex>;
 
# добавить точку в <tex>(x, y)</tex>;
Строка 21: Строка 20:
  
 
Добавляя точку вызовем <tex>\mathrm{inc}(x, y, 1)</tex>, а удаляя <tex>\mathrm{inc}(x, y, -1)</tex>. Таким образом запрос <tex>\mathrm{sum}(x, y)</tex> дает количество точек в прямоугольнике.
 
Добавляя точку вызовем <tex>\mathrm{inc}(x, y, 1)</tex>, а удаляя <tex>\mathrm{inc}(x, y, -1)</tex>. Таким образом запрос <tex>\mathrm{sum}(x, y)</tex> дает количество точек в прямоугольнике.
 +
 +
[[Файл:example42.gif |thumb|600px|center|Пример дерева Фенвика <tex>(16 \times 8)</tex>. Синим обозначены элементы, которые обновятся при изменении ячейки <tex>(5, 3)</tex>. Чтобы обновить элемент <tex>(X, Y)</tex>, по первой координате нам надо зайти во все столбцы(деревья по второй координате), находящиеся левее <tex>X</tex> и на одной горизонтальной линии с ним, и в каждом из них обновить все ячейки под <tex>Y</tex>(в рамках обозначений данного рисунка).]]
  
 
==Псевдокод==
 
==Псевдокод==
t {{---}} массив, в котором хранится дерево Фенвика.
+
<tex>\mathtt{t}</tex> {{---}} массив, в котором хранится дерево Фенвика.
 
<code style = "display: inline-block;">
 
<code style = "display: inline-block;">
 
  '''int''' sum(x: '''int''', y: '''int'''):
 
  '''int''' sum(x: '''int''', y: '''int'''):
 
         '''int''' result = 0
 
         '''int''' result = 0
         '''for''' ('''int''' i = x; i >= 0; i = (i & (i+1)) - 1)
+
         '''for''' ('''int''' i = x; i >= 0; i = (i & (i + 1)) - 1)
             '''for''' ('''int''' j = y; j >= 0; j = (j & (j+1)) - 1)
+
             '''for''' ('''int''' j = y; j >= 0; j = (j & (j + 1)) - 1)
 
               result += t[i][j];
 
               result += t[i][j];
 
         '''return''' result;
 
         '''return''' result;
Строка 34: Строка 35:
 
<code style = "display: inline-block;">  
 
<code style = "display: inline-block;">  
 
  '''func''' inc(x: '''int''', y: '''int''', delta: '''int'''):
 
  '''func''' inc(x: '''int''', y: '''int''', delta: '''int'''):
         '''for''' ('''int''' i = x; i < maxX; i = (i | (i+1)))
+
         '''for''' ('''int''' i = x; i < maxX; i = (i | (i + 1)))
             '''for''' ('''int''' j = y; j < maxY; j = (j | (j+1)))
+
             '''for''' ('''int''' j = y; j < maxY; j = (j | (j + 1)))
 
               t[i][j] += delta;
 
               t[i][j] += delta;
}
 
 
</code>
 
</code>
  
Строка 43: Строка 43:
 
[[Файл:ФормулаВключения-Исключения.jpg]]
 
[[Файл:ФормулаВключения-Исключения.jpg]]
  
==Обобщение на большие размерности==
+
====Обобщение на большие размерности====
Чтобы увеличить размерность дерева Фенвика, нам достаточно во всех операциях для каждой новой размерности просто добавить вложенный цикл, пробегающий в ней соответствующие индексы.
+
Дерево Фенвика относится к структурам данных, требующим малое количество дополнительной памяти. В комбинации с простым представлением тривиального случая данной структуры это дает возможность легко повышать размерность дерева Фенвика, в котором в ячейках какого-то фиксированного уровня будет находиться дерево меньшей размерности. Для его реализации нам достаточно во всех операциях для каждой новой размерности просто добавить вложенный цикл, пробегающий в ней соответствующие индексы.
 +
 
 
==См. также==
 
==См. также==
*[http://e-maxx.ru/algo/fenwick_tree Дерево Фенвика]
+
* [[Дерево Фенвика]]
 +
* [[Встречное дерево Фенвика]]
 +
* [[Дерево Фенвика для некоммутативных операций]]
  
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==
*[https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/binary-indexed-trees/ Binary Indexed Trees]
+
*[https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/binary-indexed-trees/ Topcoder {{---}} Binary Indexed Trees]
 +
*[http://e-maxx.ru/algo/fenwick_tree Дерево Фенвика]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Структуры данных]]
+
[[Категория: Модификации структур данных]]

Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022

Определение:
Многомерное дерево Фенвика (англ. Multidimensional Binary Indexed Tree) — структура данных, требующая [math] O(n^k) [/math] памяти и позволяющая эффективно (за [math] O(\log^k n) [/math])
  1. изменять значение любого элемента в k-мерном массиве;
  2. выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию [math] G [/math] на k-мерном прямоугольнике [math] [i_1, \ldots ,i_k] [/math];
    где n - максимальное значение для каждой координаты.

Рассмотрим для начала дерево Фенвика на примере k-мерного массива с [math]k = 2[/math], а затем посмотрим, как можно обобщить его на большие размерности.

Пусть дан массив [math] A [/math] из [math] n \times m [/math] элементов: [math] a_{i,j}[/math].
Деревом Фенвика будем называть массив [math] T [/math] из [math] n \times m [/math] элементов: [math] T_{i,j} = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} \sum\limits_{q = F(j)}^{j}a_{k,q}[/math], где [math]F(i) = i\; \&\; (i + 1)[/math], как и в одномерном дереве Фенвика.

Пример задачи для двумерного случая

Пусть имеем набор точек на плоскости с неотрицательными координатами. Определены 3 операции:

  1. добавить точку в [math](x, y)[/math];
  2. удалить точку из [math](x, y)[/math];
  3. посчитать количество точек в прямоугольнике [math](0, 0), (x, y)[/math];

[math]n[/math] — количество точек, [math]maxX[/math] — максимальная [math]X[/math] координата, [math]maxY[/math] — максимальная [math]Y[/math] координата.
Тогда дерево строится за [math]O(n\cdot\log(maxX)\cdot\log(maxY))[/math], а запросы выполняются за [math]O(\log (maxX)\cdot\log (maxY))[/math]

Добавляя точку вызовем [math]\mathrm{inc}(x, y, 1)[/math], а удаляя [math]\mathrm{inc}(x, y, -1)[/math]. Таким образом запрос [math]\mathrm{sum}(x, y)[/math] дает количество точек в прямоугольнике.

Пример дерева Фенвика [math](16 \times 8)[/math]. Синим обозначены элементы, которые обновятся при изменении ячейки [math](5, 3)[/math]. Чтобы обновить элемент [math](X, Y)[/math], по первой координате нам надо зайти во все столбцы(деревья по второй координате), находящиеся левее [math]X[/math] и на одной горизонтальной линии с ним, и в каждом из них обновить все ячейки под [math]Y[/math](в рамках обозначений данного рисунка).

Псевдокод

[math]\mathtt{t}[/math] — массив, в котором хранится дерево Фенвика.

int sum(x: int, y: int):
       int result = 0
       for (int i = x; i >= 0; i = (i & (i + 1)) - 1)
           for (int j = y; j >= 0; j = (j & (j + 1)) - 1)
              result += t[i][j];
       return result;

func inc(x: int, y: int, delta: int):
       for (int i = x; i < maxX; i = (i | (i + 1)))
           for (int j = y; j < maxY; j = (j | (j + 1)))
              t[i][j] += delta;

Чтобы посчитать значение функции для прямоугольника [math](x_1, y_1), (x_2, y_2)[/math] нужно воспользоваться формулой включения-исключения. Например, для суммы: [math]s = \mathrm{sum}(x_2,y_2)-\mathrm{sum}(x_2,y_1 - 1)-\mathrm{sum}(x_1 - 1,y_2)+\mathrm{sum}(x_1 - 1,y_1 - 1)[/math]
ФормулаВключения-Исключения.jpg

Обобщение на большие размерности

Дерево Фенвика относится к структурам данных, требующим малое количество дополнительной памяти. В комбинации с простым представлением тривиального случая данной структуры это дает возможность легко повышать размерность дерева Фенвика, в котором в ячейках какого-то фиксированного уровня будет находиться дерево меньшей размерности. Для его реализации нам достаточно во всех операциях для каждой новой размерности просто добавить вложенный цикл, пробегающий в ней соответствующие индексы.

См. также

Источники информации