Изменения

Пусть имеется множество <tex>A</tex>, состоящее из <tex>n</tex> взвешенных точек в <tex>p</tex>-мерном пространстве. Необходимо быстро отвечать на запрос о суммарном весе точек, находящихся в <tex>p</tex>-мерном прямоугольнике <tex>(x_a,x_b),(y_a,y_b),\,...\,dots,(z_a,z_b)</tex>

Вообще говоря, с поставленной задачей справится и [[Многомерное дерево отрезков|обычное <tex>p</tex>-мерное дерево отрезков]]. Для этого достаточно на <tex>i</tex>-той глубине том уровне вложенности строить дерево отрезков по всевозможным <tex>i</tex>-тым координатам точек множества <tex>A</tex>, а при запросе для определения искомого отрезка использовать на каждом уровне бинарный поискдля установления желаемого подотрезка. Очевидно, запрос будет делаться за <tex>O(\log^p\,n)</tex> времени, а сама структура данных будет занимать <tex>O(n^p)</tex> памяти.

==СтруктураОптимизация==[[Файл:compressed_tree.png|thumb|400px|right|Сжатое двумерное дерево отрезков, построенное по четырем точкам (x,y) на плоскости. Красным отмечены координаты, по которым производилась сортировка.]]Вообще говоря, с поставленной задачей справится и обычное Для уменьшения количества занимаемой памяти можно провести оптимизацию <tex>p</tex>-мерное мерного дерева отрезков. Для начала, будем использовать дерево отрезковс сохранением всего подотрезка в каждой вершине. Если дерево строить по всем элементам массиваДругими словами, в каждой вершине дерева отрезков мы будем хранить не только какую-то запрос операции на <tex>p</tex>-мерном прямоугольнике c помощью такой структуры будет выполняться за <tex>O(\frac{1}{p}log^p\сжатую информацию об этом подотрезке,S)но и все элементы множества </tex>, а сама структура будет занимать порядка <tex>O(S)A</tex> памяти, где <tex>S</tex> — количество элементов лежащие в <tex>p</tex>-мерном массивеэтом подотрезке. Если дерево строить по элементам множества <tex>A</tex>На первый взгляд, то асимптотики изменятся на <tex>O(log^p\это только увеличит объем структуры,n)</tex> и <tex>O(n^p)</tex> соответственноно не все так просто. Однако, можно провести следующую оптимизацию При построении будем действовать следующим образом — каждый раз дерево отрезков внутри вершины будем строить только не по тем всем элементам множества <tex>A</tex>, которые встречаются а только по сохраненному в отрезке, за который отвечает эта вершинаэтой вершине подотрезку. Действительно, другие незачем строить дерево по всем элементам, когда элементы вне подотрезка уже были "исключены" «исключены» и заведомо лежат вне желаемого <tex>p</tex>-мерного прямоугольника. Для этого будем использовать сохранение всего подмассива в каждой вершине дерева Такое «усеченное» многомерное дерево отрезковназывается '''сжатым''' (англ. ''compressed'').

==Построение дерева и запрос операции==Алгоритм Рассмотрим алгоритм построения такого "усеченного" сжатого дерева отрезков будет выглядеть следующим образомна примере множества <tex>A</tex>, состоящего из <tex>4</tex>-х взвешенных точек в <tex>2</tex>-мерном пространстве (плоскости):<br> <tex>p=2,~~n=4,~~A:\begin{cases} (1, 3), \mbox{weight}=7 \\(2, 1), \mbox{weight}=1 \\(3, 3), \mbox{weight}=8 \\(4, 2), \mbox{weight}=5\end{cases}</tex>* Cоставить Cоставим массив из всех <tex>n</tex> элементов множества <tex>A</tex>, упорядочить упорядочим его по первой координате* Построить , построим на нём дерево отрезков с сохранением подмассива в каждой вершине<br>[[Файл:tree_built.png]] * Все подмассивы в вершинах получившегося дерева отрезков упорядочить упорядочим по следующей координате, после чего повторить <br>[[Файл:sorted_y.png]] * Повторим построение дерева для каждого из них(координата последняя, поэтому в вершинах этих деревьев мы уже ничего строить не будем — подмассивы в каждой вершине можно не сохранять)<br>[[Файл:tree_completed.png]]

===Псевдокод:=== build_normal_tree'''buildSubarrayTree'''('''element[] ''' array) {: <font color=green>//построение одномерного дерева отрезков на массиве array с сохранением подмассива в каждой вершине</font> } '''buildNormalTree'''('''element[]''' array): <font color=green> // построение обычного одномерного дерева отрезков на массиве array </font>

get_inside_array'''getInsideArray'''(vertexv) {: <font color=green>//получение подмассива, сохраненного в вершине vertex }</font>

build_compressed_tree'''buildCompressedTree'''('''element[] ''' array, '''int ''' coordinate = 01) { : <font color=green>//собственно, построение рекурсивная процедура построения сжатого дерева отрезков</font> '''if (''' coordinate < p) { sort(array, coordinate); <font color=green>//сортировка массива по нужной координате</font> segment_tree segmentTree = build_normal_treebuildSubarrayTree(array); for (each '''foreach''' v: vertex '''in segment_tree) {''' segmentTree build_compressed_tree buildCompressedTree(inside_arraygetInsideArray(eachv), coordinate + 1); '''if''' coordinate == p sort(array, coordinate) buildNormalTree(array); ==Анализ полученной структуры==Легко понять, что сжатое <tex>p</tex>-мерное дерево отрезков будет занимать <tex>O(n\log^{p-1}\,n)</tex> памяти: превращение обычного дерева в дерево с сохранением всего подотрезка в каждой вершине будет увеличивать его размер в <tex>O(\log\,n)</tex> раз, а сделать это нужно будет <tex>p-1</tex> раз. Но расплатой станет невозможность делать произвольный запрос модификации: в самом деле, если появится новый элемент, то это приведёт к тому, что мы должны будем в каком-либо дереве отрезков по второй или более координате добавить новый элемент в середину, что эффективно сделать невозможно. Что касается запроса веса, он будет полностью аналогичен запросу в обычном <tex>p</tex>-мерном дереве отрезков за <tex>O(\log^p\,n)</tex>. ==См. также==* [[Дерево отрезков. Построение]]* [[Многомерное дерево отрезков]] }==Источники информации==* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков] }* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 Википедия — Дерево отрезков]

При такой оптимизации асимптотика размера структуры составит <tex>O(n\,log^{p-1}\,n)</tex>, а запрос будет аналогичен запросу в обычном <tex>p</tex>-мерном дереве отрезков за <tex>O(log^p\,n)</tex>. Но расплатой станет невозможность делать произвольный запрос модификации[[Категория: в самом деле, если появится новый элемент, то это приведёт к тому, что мы должны будем в каком-либо дереве отрезков по второй или более координате добавить новый элемент в середину, что эффективно сделать невозможно.==Источники==Дискретная математика и алгоритмы]][http[Категория://e-maxx.ru/algo/export_segment_tree Дерево отрезков на e-maxx.ru]]