Изменения

<b>Алгоритм Борувки</b> — (англ. ''Borůvka's algorithm'') {{---}} алгоритм поиска [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре | минимального остовного дерева (minimum spanning tree, MST) ]] во взвешенном неориентированном связном графе.

Пока Алгоритм состоит из нескольких шагов: # Изначально каждая вершина графа <tex>TG </tex> {{---}} тривиальное дерево, а ребра не является деревомпринадлежат никакому дереву.# Для каждой компоненты связанности находим каждого дерева <tex> T </tex> найдем минимальное инцидентное ему ребро. Добавим все такие ребра.# Повторяем шаг <tex> 2 </tex> пока в графе не останется только одно дерево <tex> T </tex>.   Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу ребро. Например, которое связывает вершину полный граф из данной компоненты с вершинойтрех вершин, не принадлежащей данной компонентевес каждого ребра равен один. # Добавим в В <tex>T</tex> могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, например, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальнымиребро с наименьшим номером. ==Доказательство корректности== {{Теорема|statement= Алгоритм Борувки строит '''MST'''.Получившееся множество |proof=Очевидно, что в результате работы алгоритма получается дерево. Пусть <tex>T</tex> является минимальным остовным деревом {{---}} минимальное остовное дерево графа <tex>G</tex>, а <tex> T' </tex> {{---}} дерево полученное после работы алгоритма. Покажем, что <tex> T = T'</tex>.  Предположим обратное <tex> T \neq T' </tex>. Пусть ребро <tex> e' </tex> {{---}} первое добавленное ребро дерева <tex> T' </tex>, не принадлежащее дереву <tex> T </tex>. Пусть <tex> P </tex> {{---}} путь, соединяющий в дереве <tex> T </tex> вершины ребра <tex> e' </tex>.  Понятно, что в момент, когда ребро <tex> e' </tex> добавляли, какое-то ребро <tex> P </tex> (назовем его <tex> e </tex>) не было добавлено. По алгоритму <tex> w(e) \geqslant w(e') </tex>. Однако тогда <tex> T - e + e' </tex> {{---}} остовное дерево веса не превышающего вес дерева <tex> T </tex>. Получили противоречение. Следовательно <tex> T = T'</tex>.}}

Graph Boruvka<font color=green>// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф</font> <font color=green>// <tex>w</tex> {{---}} весовая функция</font> '''function''' <tex>\mathtt{boruvkaMST}(Graph G):</tex> '''while ''' <tex>T\mathtt{.size } < n- 1</tex> init'''for''' <tex>k \in </tex> Component <font color = "green">// Component {{---}} множество компонент связности в <tex>T</tex>. Для </font> <tex>w(\mathtt{minEdge}[k])=\infty</tex> <font color = "green">// каждой компоненты связности вес минимального ребра = <tex>\infty</tex>.</font> <tex>\mathtt{findComp(}T\mathtt{) }</tex> <font color = "green">// разбивает Разбиваем граф <tex>T </tex> на компоненты связынности связности обычным ''dfs''-ом.</font> '''for uv ''' <tex>\mathtt{(u,v)} \in E </tex> E '''if ''' <tex>\mathtt{u.color != comp} \neq \mathtt{v.colorcomp}</tex> '''if ''' <tex>w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}].) > w (u,v)< uv.w/tex> <tex>\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}] = uv(u,v)</tex> '''if ''' <tex>w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}].) > w (u,v)< uv.w/tex> <tex>\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}] = uv(u,v)</tex> '''for k ''' <tex>k \in</tex> K // K - множество компонент связанности в TComponent <tex>T\mathtt{.addEdge}(\mathtt{minEdge}[k]) </tex> <font color = "green">// Добавляем ребро, если его не было в <tex>T</tex></font> '''return ''' <tex>T; </tex>

==Пример=={| class = "wikitable"! Изображение !! Компоненты связности !! Описание|-align="center"|[[Файл:Boruvka_1.png|250px]]| <tex>\{A\}<b/tex>Вход<br/b>: граф <tex>G = (V, E)\{B\}</tex><br/><btex>\{C\}</tex>Выход<br/b>: минимальный остов <tex>F\{D\}</tex> графа <br/><tex>G\{E\}</tex><br/>1) <tex>\{F := (V, \varnothing)}</tex><br/>1) Отсортируем <tex>E\{G\}</tex> по весу ребер.<br>2) Заведем систему непересекающихся множеств (DSU) и инициализируем ее множеством |Начальный граф <tex>VG</tex>.<br>Каждая вершина является компонентой (синие окружности).|-align="center"|[[Файл:Boruvka_2.png|250px]]3) Перебирая ребра | <tex>uv \in EG{ABDF\}</tex> в порядке увеличения веса, смотрим, принадлежат ли <br/><tex>u\{CEG\}</tex> и |На первой итерации внешнего цикла для каждой компоненты были добавлены минимальные сопряженные ребра. Некоторые ребра добавлены несколько раз (<texdpi = 120>vAD</tex> одному множеству. Если нет, то объединяем множества, в которых лежат и <texdpi = 120>uCE</tex> и ). Осталось две компоненты.|-align="center"|[[Файл:Boruvka_3.png|250px]]| <tex>v\{ABCDEFG\}</tex>|На последней итерации внешнего цикла было добавлено минимальное ребро, и добавляем соединяющее две оставшиеся компоненты (ребро <texdpi = 120>uvBE</tex> к ). Осталась одна компонента. Минимальное остовное дерево графа <texdpi = 120>FG</tex>построено.<br>|-|}

Сортировка На <tex>Ei </tex> займет -ой итерации внешнего цикла каждая компонента состоит как минимум из двух компонент из <tex>O(E\log Ei - 1)</tex>-й итерации.Значит, на каждой итерации число компонент уменьшается как минимум в <tex> 2 <br/tex>Работа с DSU займет раза. Тогда внешний цикл повторяется <tex>O(E\alpha(log{V})</tex> раз, так как количество компонент изначально равно количеству вершин. Что же касается внутреннего цикла, то он выполняется за <tex>O(E)</tex>, где <tex>\alphaE</tex> {{-- обратная функция Аккермана, которая не превосходит 4 во всех практических приложениях и которую можно принять за константу-}} количество рёбер в исходном графе.<br>Алгоритм работает за Следовательно конечное время работы алгоритма <tex>O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E) = O(E\log V^2) = O(E\log {V})</tex>. ==Литература==* ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)