Классы EXP, NEXP. Полнота языков EXP и NEXP — различия между версиями
Vadim (обсуждение | вклад) (Новая страница: «== Определение == <math>EXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}DTIME(2^{n^{i}})</math> <math>NEXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}NTIME(2^{n^{i}})</math> == Полнот…») |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 15 промежуточных версий 4 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определение == | == Определение == | ||
− | < | + | <tex>EXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}DTIME(2^{n^{i}})</tex> |
− | < | + | <tex>NEXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}NTIME(2^{n^{i}})</tex> |
− | == | + | == Полная задача в классе ''EXP'' == |
+ | |||
+ | Существует полная в ''EXP'' задача | ||
− | |||
====Доказательство==== | ====Доказательство==== | ||
Полной задачей в <tex>EXP</tex> является задача <tex>BH_{2,D}</tex>(binary deterministic bounded halt): | Полной задачей в <tex>EXP</tex> является задача <tex>BH_{2,D}</tex>(binary deterministic bounded halt): | ||
− | <tex>BH_{2,D} =\{ | + | <tex>BH_{2,D} =\{ \langle m, x, t\rangle \mid m(x) = 1, T(m,x) \le t \}</tex> |
(<tex>t</tex> задаётся двоичной записью, <tex>m</tex> - детерминированная машина Тьюринга) | (<tex>t</tex> задаётся двоичной записью, <tex>m</tex> - детерминированная машина Тьюринга) | ||
− | Докажем, что <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>. Симулируем работу детерминированной машины <tex>m</tex>. Для этого потребуется время порядка <tex>t^{2}</tex>, но <tex>t \le 2^{|t|} \le 2^{| | + | Докажем, что <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>. Симулируем работу детерминированной машины <tex>m</tex>. Для этого потребуется время порядка <tex>t^{2}</tex>, но <tex>t \le 2^{|t|} \le 2^{|\langle m,x,t \rangle|}</tex>. Таким образом, общее время работы <tex>T \le (2^{|\langle m,x,t \rangle|})^{2} = 2^{2n}</tex> и <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>. |
− | Докажем, что любая задача из <tex>EXP</tex> сводится к <tex>BH_{2,D}</tex>. Пусть <tex>L \in EXP, MT\enskip m</tex>, допускающая язык <tex>L</tex>, работает за время <tex>T \le 2^{p(n)}</tex>, где <tex>p(n)</tex> - полином. Рассмотрим <tex>f : x \rightarrow | + | Докажем, что любая задача из <tex>EXP</tex> сводится к <tex>BH_{2,D}</tex>. Пусть <tex>L \in EXP, MT\enskip m</tex>, допускающая язык <tex>L</tex>, работает за время <tex>T \le 2^{p(n)}</tex>, где <tex>p(n)</tex> - полином. Рассмотрим <tex>f : x \rightarrow \langle m,x,2^{p(n)} \rangle</tex> - функция сведения. Чтобы выписать свой результат на ленту ей потребуется полиномиальное от <tex>n</tex> число шагов, так как запись <tex>m</tex> имеет константную длину, <tex>|x| = n</tex> и запись числа <tex>2^{p(n)}</tex> имеет длину порядка <tex>p(n)</tex> в двоичной системе. |
+ | |||
+ | == Полная задача в классе ''NEXP'' == | ||
− | + | Существует полная в ''NEXP'' задача | |
− | |||
====Доказательство==== | ====Доказательство==== | ||
− | |||
Полной задачей в <tex>NEXP</tex> является задача <tex>BH_{2,N}</tex>(binary nondeterministic bounded halt): | Полной задачей в <tex>NEXP</tex> является задача <tex>BH_{2,N}</tex>(binary nondeterministic bounded halt): | ||
− | <tex>BH_{2,N} =\{ | + | <tex>BH_{2,N} =\{ \langle m, x, t \rangle \mid m(x) = 1, T(m,x) \le t \}</tex> |
− | |||
− | |||
− | + | Сведение совпадает с предыдущим доказательством. |
Текущая версия на 19:10, 4 сентября 2022
Содержание
Определение
Полная задача в классе EXP
Существует полная в EXP задача
Доказательство
Полной задачей в
является задача (binary deterministic bounded halt):(
задаётся двоичной записью, - детерминированная машина Тьюринга)Докажем, что
. Симулируем работу детерминированной машины . Для этого потребуется время порядка , но . Таким образом, общее время работы и . Докажем, что любая задача из сводится к . Пусть , допускающая язык , работает за время , где - полином. Рассмотрим - функция сведения. Чтобы выписать свой результат на ленту ей потребуется полиномиальное от число шагов, так как запись имеет константную длину, и запись числа имеет длину порядка в двоичной системе.Полная задача в классе NEXP
Существует полная в NEXP задача
Доказательство
Полной задачей в
является задача (binary nondeterministic bounded halt):Сведение совпадает с предыдущим доказательством.