1632
правки
Изменения
м
=== Глава XI Измеримые функции===#[[Определение измеримой функции]]#[[Предельный переход в классе измеримых функций]]#[[Сходимость по мере]]#[[Классические теоремы теории измеримых функций]] === Глава XII Интеграл Лебега ===#[[Определение интеграла Лебега]] от ограниченных функций по множествам конечной меры#[[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега]]#[[Предельный переход под знаком интеграла Лебега]]#[[Неотрицательные суммируемые функции]]#[[Суммируемые функции произвольного знака]]#[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега]]#[[Мера подграфика]]#[[Теорема Фубини]]#[[Точки Лебега суммируемой функции]]</wikitex>
rollbackEdits.php mass rollback
<wikitex>{{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}}{{Теорема|statement=Если $f$ — функция ограниченной вариации ($f \in \bigvee(a, b)$), то ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($f = Глава X Мера и интеграл Лебега f_1 - f_2$).|proof=Возьмем в качестве $f_1$ функцию $f_1(x) =\bigvee\limits_a^x (f)$, тогда по аддитивности она будет не убывать.Определим как $f_2$ функцию $f_2(x) = f_1(x) - f(x)$. Докажем, что она монотонно не убывает.#[[Полукольца и алгебры]]#[[Мера на полукольце множеств]]#[[Внешняя мера]]#[[Мера$a < x_1 < x_2 < b$. Надо доказать, что $f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)$, порожденная внешней мерой]]или что $f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$ (используем утверждение 1).#[[Процесс Каратеодори]]#[[Объём nНо действительно $f(x_2) - f(x_1) \le | f(x_2) -мерного прямоугольника]]f(x_1) | \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$, ч. т. д. #[[Мера Лебега в R^n]]}}
