Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей — различия между версиями
(→Теорема умножения определителей) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
− | |about = * | + | |about = <tex>*</tex> |
|statement= | |statement= | ||
<tex> \mathcal{A}^{\wedge_p} {e_{i_1}} \land {e_{i_2}} \land ... \land {e_{i_p}} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{A}{e_{i_1}} \land \mathcal{A}{e_{i_2}} \land... \land \mathcal{A}{e_{i_p}} </tex> | <tex> \mathcal{A}^{\wedge_p} {e_{i_1}} \land {e_{i_2}} \land ... \land {e_{i_p}} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{A}{e_{i_1}} \land \mathcal{A}{e_{i_2}} \land... \land \mathcal{A}{e_{i_p}} </tex> | ||
Строка 6: | Строка 6: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
− | |about = ** | + | |about = <tex>**</tex> |
|statement= | |statement= | ||
Если <tex> {x_1} \land {x_2} \land... \land {x_p} \in {\wedge_p} </tex>, то <tex> \mathcal{A}^{\wedge_p} {x_1} \land {x_2} \land ... \land {x_p} = \mathcal{A}{x_1} \land \mathcal{A}{x_2} \land... \land \mathcal{A}{x_p} </tex> | Если <tex> {x_1} \land {x_2} \land... \land {x_p} \in {\wedge_p} </tex>, то <tex> \mathcal{A}^{\wedge_p} {x_1} \land {x_2} \land ... \land {x_p} = \mathcal{A}{x_1} \land \mathcal{A}{x_2} \land... \land \mathcal{A}{x_p} </tex> | ||
Строка 12: | Строка 12: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
− | |about = *** | + | |about = <tex>***</tex> |
|statement= | |statement= | ||
<tex> \mathcal{A}^{\wedge_n} z = \det \mathcal{A} \cdot z </tex> | <tex> \mathcal{A}^{\wedge_n} z = \det \mathcal{A} \cdot z </tex> | ||
}} | }} | ||
− | + | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 23: | Строка 23: | ||
|proof = | |proof = | ||
<tex>\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = </tex><br><tex> | <tex>\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = </tex><br><tex> | ||
− | (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})^{\wedge_n}{e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} | + | (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})^{\wedge_n}{e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} \stackrel{\mathrm{(*)}}{=}</tex><br><tex> |
− | (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_2} \land ... \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_n} | + | (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_2} \land ... \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_n} \stackrel{\mathrm{(def\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})}}{=}</tex><br><tex> |
− | \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_1}) \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_2}) \land ... \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_n}) | + | \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_1}) \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_2}) \land ... \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_n}) \stackrel{\mathrm{(**)}}{=}</tex><br><tex> |
− | \mathcal{A}^{\wedge_n}(\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n}) | + | \mathcal{A}^{\wedge_n}(\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n})\stackrel{\mathrm{(***)}}{=}</tex><br><tex> |
− | \det \mathcal{A} \cdot (\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n}) | + | \det \mathcal{A} \cdot (\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n}) \stackrel{\mathrm{(***)}}{=}</tex><br><tex> |
\det \mathcal{A} \cdot \mathcal{B}^{\wedge_n}({e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n}) = </tex><br><tex> | \det \mathcal{A} \cdot \mathcal{B}^{\wedge_n}({e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n}) = </tex><br><tex> | ||
\det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B} \cdot {e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n} </tex><br> | \det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B} \cdot {e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n} </tex><br> |
Текущая версия на 19:11, 4 сентября 2022
Лемма ( | ):
Лемма ( | ):
Если , то |
Лемма ( | ):
Теорема: |
Пусть , (автоморфизм). Тогда |
Доказательство: |
|
Утверждение: |
Следствие 1: Пусть |
|
Утверждение: |
Следствие 2: Пусть |