Изменения

== Диаметр дерева =={{Определение|id = tree|definition ='''Алгоритм:Диаметр дерева'''(англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.}}

d = max{Пусть дан граф <tex> v G = \langle V, E \rangle </tex>,. Тогда диаметром <tex> u d</tex> называется <tex> \subset graphmax\limits_{u, </tex> <tex> v \ne in V} dist(v, u )</tex>} dist(, где <tex> v, u dist</tex>)— кратчайшее расстояние между вершинами.

=== Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex> u v \in V </tex> такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова и найдём расстояние расстояния до всех остальных других вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.<tex>d[i] = dist(v, i)</tex>

void diameter(graph g) { v = u = w = 0; bfs(v); // заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершин. for(i Обоснование корректности = 0; i < n; i++) if (d[i] > d[u]) u = i; bfs(u); for(i = 0; i < n; i++) if (d[i] > d[w]) w = i; return d[w]; }Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае.

{{ЛеммаТеорема|statement=Если существует кратчайший путь от Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.|proof=Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>sa, b</tex> до , где <tex>tb</tex>, то не является листом. Так как <tex> \rho(s, \, t) \: = \: \min\limits_{k = 0..n-1} d[k][t]b</tex>|proof=Пусть кратчайший путь состоит не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>kb</tex> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной нижемы не можем).

'''Обоснование корректности{{Теорема|statement=В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.|proof=Предположим, существует ребро <tex>u, v</tex> между соседними поддеревьями:'''Будем пользоваться свойствомРассмотрим первую вершину,что в любом дереве которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u</tex>= 2 висячих , тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин(степерь у них = 1)<tex>u</tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex>, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.'''Докажем вспомогательную лемму:'''}}

Запустив Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину <tex>u</tex> с наибольшей глубиной после первого <tex>BFS от произвольной вершины</tex>, очевидно, что ей в пару надо сопоставить вершину <tex>w</tex>, такую что <tex>dist(u, w)</tex> максимально. Мы получим дерево Вершину <tex>w</tex> можно найти запуском <tex>BFS. Теорема. В дереве BFS не существует ребер между вершинами </tex> из разных поддеревьев некоторого из общего предка.Доказательство как про дерево DFS<tex>u</tex>.

Мы свели задачу к нахождению вершины v=== Оценка времени работы ===Все операции кроме <tex>BFS</tex> — <tex>O(1)</tex>.<tex>BFS</tex> работает за линейное время, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальназапускаем мы его два раза. Получаем <tex>O(|V| + |E|)</tex>.

Докажем== Центр дерева ===== Определения ==={{Определение|id = tree|definition ='''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u\in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.}}{{Определение|id = tree|definition ='''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ. ''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.}}{{Определение|id = tree|definition ='''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что одно <tex>e(v) = r(G)</tex> }}{{Определение|id = tree|definition ='''Центр графа <tex>G</tex>''' (англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.}}[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]][[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]] === Алгоритм ======= Наивный алгоритм ====Найдём центр графа исходя из искомых поддеревьев содержит самый глубокий листего определения.* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>. Пусть нет* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, тогда взяв расстояние все они являются центрами. Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице. ==== Алгоритм для дерева за O(n) ==== {{Теорема|statement=Каждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин. |proof=Утверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, что у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, что и у дерева <tex>T'</tex>, полученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин. Расстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ</tex> – висячая вершина. Таким образом, эксцентриситет каждой вершины дерева <tex>T'</tex> точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Продолжим процесс удаления и получим требуемое.}} Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы. * Пройдёмся по дереву [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходом в глубину]] и пометим все висячие вершины числом <tex>0</tex>.* Обрежем помеченные вершины.* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>1</tex> и тоже обрежем.* Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в дереве будет тоже не более двух листьев.  Оставшиеся листья являются центром дерева. Для того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, нужно обрабатывать листья по одному, поддерживая в [[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя. == См. также ==*[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево, эквивалентные определения]]*[[Дополнительный,_самодополнительный_граф|Дополнительный, самодополнительный граф]]

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(t, pgraph_theory) |Wikipedia {{- max --}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Очевидно, что проблема решается запуском bfs из tХарари'': Теория графов* [http://rain. ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]

'''Оценка производительности[[Категория:'''Дискретная математика и алгоритмы]]Все операции кроме bfs - О(1)BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)[[Категория: Основные определения теории графов]]