Изменения

== Диаметр дерева =={{Определение|id = tree|definition ='''Диаметр дерева''' (англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.}} Пусть дан граф <tex>G = \langle V, E \rangle </tex>. Тогда диаметром <tex>d</tex> называется <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>dist</tex> — кратчайшее расстояние между вершинами. === Алгоритм ===* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин.<tex>d[i] = dist(v, i)</tex> * Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.Расстояние до остальных вершин будем искать [[Обход_в_ширину|алгоритмом <tex>BFS</tex>]]. === Реализация === <span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span> '''int''' diameterTree('''list<list<int>>''' g): v = u = w = 0 d = bfs(g, v) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[u] u = i d = bfs(g, u) '''for''' i = 0, i < n, i++ '''if''' d[i] > d[w] w = i '''return''' d[w] === Обоснование корректности ===Будем пользоваться свойством, что в любом дереве больше одного листа. Исключительный случай — дерево из одной вершины, но алгоритм сработает верно и в этом случае. {{Теорема|statement=Искомое расстояние — расстояние между двумя листами.|proof=Пусть искомое расстояние — расстояние между вершинами <tex>a, b</tex>, где <tex>b</tex> не является листом. Так как <tex>b</tex> не является листом, то её степень больше единицы, следовательно, из неё существует ребро в непосещённую вершину (дважды посетить вершину <tex>b</tex> мы не можем).}}

d = max{После запуска алгоритма получим дерево <tex> v BFS</tex>,<tex> u </tex> <tex> \subset graph, </tex> <tex> v \ne u </tex>} dist(<tex> v, u </tex>).

Возьмём вершину {{Теорема|statement=В дереве <tex>BFS</tex> не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.|proof=Предположим, существует ребро <tex> u , v</tex> такуюмежду соседними поддеревьями:Рассмотрим первую вершину,что d[в которую приведет наш алгоритм, пусть это вершина <tex>u] </tex>= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до , тогда в ходе рассмотрения всех остальных смежных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева<tex>u</tex> мы добавим в список вершину <tex>v</tex>, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.}}

void diameter(graph g) { v = u = w = 0; bfs(v); // заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершинДокажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. for(i = 0; i Пусть нет, тогда, взяв расстояние от < n; i++) if (d[i] tex> d[u]) u = i; bfs(u); for(i = 0; i w< n; i++) if (d[i] /tex> d[w]) w = i; return d[w]; }до глубочайшего листа, мы можем улучшить ответ.

== Обоснование корректности =Алгоритм ======= Наивный алгоритм ====Найдём центр графа исходя из его определения.Будем пользоваться свойством* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>,что то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].* Подсчитаем максимум в любом дереве каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>= 2 висячих n</tex>.* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершиннесколько, все они являются центрами. Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(степень у них = 1V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.

Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листамиКаждое дерево имеет центр, состоящий из одной вершины или из двух смежных вершин.

Пусть нетУтверждение очевидно для деревьев с одной и двумя вершинами. Покажем, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина aчто у любого другого дерева <tex>T</tex> те же центральные вершины, bчто и у дерева <tex>T'</tex>, где b - не является листомполученного из <tex>T</tex> удалением всех его висячих вершин.ТРасстояние от данной вершины дерева <tex>u</tex> до любой другой вершины <tex>v</tex> достигает наибольшего значения, когда <tex>v</tex> – висячая вершина.к. b не является листомТаким образом, то значит её степень эксцентриситет каждой вершины дерева <tex> 1 =T'</tex> из неё существует ребро точно на единицу меньше эксцентриситета этой же вершины в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем)дереве <tex>T</tex>, следовательно, центры этих деревьев совпадают. Лемма доказанаПродолжим процесс удаления и получим требуемое. 

Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS. Теорема. В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка.Доказательство как про дерево DFS. Мы свели задачу к нахождению вершины v, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна. Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответОставшиеся листья являются центром дерева.

Таким образом мы доказалиДля того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(n)</tex>, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfsобрабатывать листья по одному, очевидно что ей поддерживая в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t[[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.

== Источники информации ==* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]* ''Ф. Харари''Оценка производительности:Теория графов* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]