1632
правки
Изменения
м
=== Алгоритм ===Собственно, алгоритм нахождения центра описан в доказательстве теоремы. * Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться Пройдёмся по дереву [[Алгоритм_ФлойдаОбход_в_глубину,_цвета_вершин|алгоритмом Флойда-Уоршеллаобходом в глубину]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы и пометим все висячие вершины числом <tex>A0</tex>. Таким образом, получим массив длины * Обрежем помеченные вершины.* Образовавшиеся листья пометим числом <tex>n1</tex>и тоже обрежем.* Найдём наименьший элемент Будем повторять, пока на текущей глубине не окажется не более двух листьев, и при этом в этом массиведереве будет тоже не более двух листьев. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они Оставшиеся листья являются центрамицентром дерева. Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет Для того, чтобы алгоритм работал за <tex>O(V^3n)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>нужно обрабатывать листья по одному, за которую мы находим максимумы поддерживая в матрице[[Очередь|очереди]] два последовательных по глубине слоя.
rollbackEdits.php mass rollback
|id = tree
|definition =
'''Диаметр дерева''' (англ. ''diameter of a tree'') — максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.
}}
=== Алгоритм ===
* Возьмём любую вершину <tex> v \in V </tex> и найдём расстояния до всех других вершин. <tex>d[i] = \min\limits_{u, i \in V} dist(uv, i)</tex>
* Возьмём вершину <tex> u \in V </tex> такую, что <tex>d[u] \geqslant d[t]</tex> для любого <tex>t</tex>. Снова найдём расстояние от <tex>u</tex> до всех остальных вершин. Самое большое расстояние — диаметр дерева.
=== Реализация ===
<span style="color:green">//граф g представлен списком смежности</span> '''int''' diameterTree(graph'''list<nodelist<int>> g) //''тип node содержит поле number, в котором хранится номер вершины в графе'' g):
v = u = w = 0
d = bfs(g, v)
'''if''' d[i] > d[u]
u = i
d = bfs(g, u)
'''for''' i = 0, i < n, i++
'''if''' d[i] > d[w]
|id = tree
|definition =
'''Эксцентриситет вершины <tex>e(v)</tex>''' (англ. ''eccentricity of a vertex'') — <tex>\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)</tex>, где <tex>V</tex> — множество вершин связного графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Радиус <tex>r(G)</tex>''' (англ. ''radius'') — наименьший из эксцентриситетов вершин графа <tex>G</tex>.
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центральная вершина''' (англ. ''central vertex'') — вершина графа <tex>G</tex>, такая что <tex>e(v) = r(G)</tex>
}}
{{Определение
|id = tree
|definition =
'''Центр графа <tex>G</tex>''' (англ. ''center of a graph'') — множество всех центральных вершин графа <tex>G</tex>.
}}
[[Файл:Центральные_вершины.png|300px|thumb|left|Примеры деревьев с одной и двумя центральными вершинами]]
[[Файл:Эксцентриситеты.png|400px|thumb|center|Графы, у которых показан эксцентриситет каждой вершины]]
=== Алгоритм ===
==== Наивный алгоритм ====
Найдём центр графа исходя из его определения.
* Построим матрицу <tex>A_{n \times n}</tex> (<tex>n</tex> — мощность множества <tex>V</tex>), где <tex>a_{ij} = d_{ij}</tex>, то есть матрицу кратчайших путей. Для её построения можно воспользоваться [[Алгоритм_Флойда|алгоритмом Флойда-Уоршелла]] или [[Алгоритм_Дейкстры|Дейкстры]].
* Подсчитаем максимум в каждой строчке матрицы <tex>A</tex>. Таким образом, получим массив длины <tex>n</tex>.
* Найдём наименьший элемент в этом массиве. Эта вершина и есть центр графа. В том случае, когда вершин несколько, все они являются центрами.
Асимптотика зависит от используемого способа подсчета кратчайших путей. При Флойде это будет <tex>O(V^3)</tex>, а при Дейкстре — максимум из асимптотики конкретной реализации Дейкстры и <tex>O(V^2)</tex>, за которую мы находим максимумы в матрице.
==== Алгоритм для дерева за O(n) ====
{{Теорема
}}
== См. также ==
* [[wikipedia:Distance_(graph_theory)|Wikipedia {{---}} Distance (graph theory)]]
* ''Ф. Харари'': Теория графов
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/theory/graph-location/centers-2006/article.pdf ''А. Клебанов'': Центры графов(нерабочая ссылка)]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]
