Изменения

Числитель и знаменатель цепной == Цепные дроби можно записать в виде полиномов от переменных <tex>a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n</tex>. При этом, поскольку числитель каждой дроби является знаменателем следующей, полиномы для числителей рациональных чисел =={{Main|Связь цепных дробей и знаменателей имеют одинаковый вид.алгоритма Евклида}}Таким образом, Для рациональных чисел цепная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdotsимеет конечный вид. Кроме того, a_n \rangle последовательность </tex> представима в виде <tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]}</tex>, где <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]a_i</tex> {{---}} некоторый полином от<tex>n+1</tex> переменнойэто ровно та последовательность частных, которая получается при применении [[алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]] к числителю и знаменателю дроби.

=== Свойства цепных дробей =Цепные дроби как приближение к числу ==* <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---Main|Цепные дроби как приближение к числу|Сходимость цепных дробей}} полином от Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях <tex>n+1a_i</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономовудовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел.* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4Кроме того,\cdots, a_n]</tex>.* скорость сходимости можно оценить как <tex>[a_0, a_1, a_2,|\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n alpha- 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_frac{n-2P_i}, a_{n-1Q_i}]| </tex>.* Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:** <tex>P_n = P_\frac{n-1}a_n + P_{n-Q_i^2}</tex>** <tex>Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}</tex>* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>.

=== Доказательства свойств =Периодичность цепных дробей =={{Лемма|id=lemma1|about=1|statement=<tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.Main|proof=<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} = a_0 + \frac{[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]Периодичность цепных дробей}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} </tex>.Следовательно <tex> Цепная дробь [a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.}}{{Лемма|id=lemma2квадратичная иррациональность|about=2|statement=<tex>[a_0,\cdots, a_nквадратичной иррациональности]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономов.|proof='''База'''. При <tex>n=0</tex>: <tex>[a_0] = a_0</tex> {{---}} полином от одной переменной с одним мономом. <tex>[a_0периодична, a_1] = a_0 a_1 + 1</tex> а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности {{---}} два монома.'''Переход'''. Пусть верно, что в <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> <tex>F_{n+1}</tex> монома. Докажем, что в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+2}</tex> монома.<tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}] = a_0[a_1,\cdots, a_{n+1}] + [a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> В <tex>[a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> нет мономов, содержащих <tex> a_0 </tex>. Значит в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+1}+F_n = F_{n+2}</tex> слагаемых.}}{{Теорема|id=theorem1 |about=1|statement=<tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>|proof=База: <tex>[a_0] = a_0 = [a_0]</tex>Пусть верно для всех <tex>m < n </tex>. Докажем для <tex>n</tex>чисто периодична.

== Примеры разложения чисел в цепные дроби ==* <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] frac{7}{5}= a_0[a_1, a_2, a_3,1+\cdots, a_n] frac{1}{2+ [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n] frac{1}{2}}= a_0(a_1[a_2\langle 1, a_3, a_42,2 \rangle</tex>* <tex> \cdots, a_n]sqrt{2} = 1+[a_3, a_4, a_5\cdots, a_n])frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]=(a_0a_1frac{1}{2+\frac{1)[a_2, a_3, a_4,}{\cdots, a_n] sqrt{2}+ a_0[a_3, a_4, a_51}}=\cdots, a_n] = [a_0langle 1, a_1][a_22, a_3, a_42,\cdots, a_n] + [a_0][a_3, a_4, a_5\cdots, a_n]rangle</tex>

Обобщим последнюю формулу и докажем по индукции. Пусть верно : == Свойства цепных дробей =={{Main|Свойства цепных дробей}}Цепную дробь <tex>[\langle a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = \rangle</tex> можно записать в виде частного двух полиномов<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_ka_n]}{[a_{k+1}a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]+}</tex>, где <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_a_n]</tex> {{k-1--}}][a_{kнекоторый полином от <tex>n+2}, \cdots, a_n]1</tex>переменной.

Докажем для больших <tex> k </tex> Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:  * <tex> [a_0, \cdots, a_ka_n][a_</tex> {k+1},\cdots, a_n]+[a_0,\cdots, a_{k-1--}][a_{k+2}, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_k](a_{kполином от <tex>n+1}[a_{k+2}</tex> переменной, \cdots, a_n]+[a_состоящий из <tex>F_{kn+31}, \cdots, a_n])+</tex> мономов.* <tex>[a_0,\cdotsa_1, a_{k-1}][a_{k+2}a_2, \cdots, a_n] = (a_{k+1}[a_0, \cdots, a_k] + [a_0a_1,\cdotsa_2, a_{k-1}])[a_{k+2}a_3, \cdots, a_n]+[a_0a_2, \cdotsa_3, a_k][a_{k+3}a_4, \cdots, a_n]</tex>.  Используя условие теоремы для <tex>k * < n-1</tex> получаем : <tex> a_{k+1}[a_0, \cdotsa_1, a_k] + [a_0a_2,\cdots, a_{k-1}a_n] = a_{k+1}[a_ka_0, a_1, \cdots, a_0] + [a_{kn -1}, \cdots, a_0] = [a_{ka_n +1},\cdots, a_0] = [a_0, a_1, \cdots, a_{k+1n-2}]</tex>. Следовательно получаем :  * <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = [a_0a_n, \cdots, a_{n-2}][a_{n-1}, a_n]+[a_0,\cdots, a_{a_0] </tex>Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-3}][a_n] ой подходящей дроби верны следующие формулы:* <tex>P_n = [a_{n-2}, \cdots, a_0](a_P_{n-1}a_n + 1) + a_n[a_P_{n-32}, \cdots, a_0]</tex>* <tex>Q_n =a_n[a_Q_{n-1},\cdots, a_0] a_n + [a_Q_{n-2}, \cdots, a_0] = [a_n, \cdots, a_0]</tex>.}}{{Лемма|id=lemma3|about=3|statement=* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_P_nQ_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_-P_{n-21}, a_Q_n=(-1)^{n-+1}]</tex>.|proof=Эта формула аналогична формуле из [[#lemma1|Леммы 1]], за исключением того, что <tex>a_n</tex> "отщепляются" с другого конца.Для получения формулы достаточно скомбинировать результаты [[#lemma1|Леммы 1]] и [[#theorem1|Теоремы 1]].}}