Изменения

{{В разработке}}Задача|definition==Алгоритм==Для заданного взвешенного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа ]] <tex>G = (V, E)</tex> алгоритм находит найти кратчайшие пути из заданной вершины <tex> s </tex> до всех остальных вершин.В случае, в случае когда в графе <tex> G </tex> содержатся отрицательные [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|циклы ]] с отрицательным суммарным весом, достижимые из <tex> s </tex> алгоритм сообщает, сообщить, что кратчайших путей не существует.}} ==Введение==Количество путей длины <tex>k</tex> рёбер можно найти с помощью метода [[Динамическое_программирование|динамического программирования]]. <br>Пусть <tex>d[k][u]</tex> {{---}} количество путей длины <tex>k</tex> рёбер, заканчивающихся в вершине <tex>u</tex>. Тогда <tex> d[k][u] = \sum\limits_{v : vu \; \in E} d[k-1][v] </tex>. Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть <tex>s</tex> {{---}} стартовая вершина. Тогда <tex> d[k][u] = \min\limits_{v : vu \; \in E}(d[k-1][v] \: + \: \omega(u, v))</tex>, при этом <tex>d[0][s] = 0</tex>, а <tex>d[0][u] = +\infty </tex>{{Лемма|statement=Если существует кратчайший путь от <tex>s</tex> до <tex>t</tex>, то <tex> \rho(s, \, t) \: = \: \min\limits_{k = 0..n-1} d[k][t]</tex>|proof=Пусть кратчайший путь состоит из <tex>k</tex> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.}}

'''Bellman_Ford(GТакже релаксацию можно свести к одномерному случаю, s)''' '''for''' для каждой <tex>v \in V[G]</tex> '''do''' <tex> d[v] \leftarrow \mathcal {1} </tex> если не хранить длину пути в рёбрах. Одномерный массив будем обозначать <tex>d[s] \leftarrow 0 </tex> '''for''' <tex> i \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> \mid V[G] \mid - 1 </tex> '''do''' '''for''' для каждого ребра <tex> (u, v) \in E[G] тогда </tex> '''do''' ''d'if''' <tex>d[v] > d[u] + = \omegamin(u, v) </tex> d'''then''' <tex>d[v] \leftarrow d[u] + \omega(u, v)</tex> '''for''' для каждого ребра <tex> (u, v) \in E[G] </tex> '''do''' '''if''; d' <tex>d[v] > d[u] + \omega(u, vvu)) </tex> '''then''' '''return''' <tex> \mathit false</tex> '''return''' <tex> \mathit true </tex>==Корректность==

|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> -— взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — стартовая вершина. Тогда после завершения <tex>k</tex> итераций цикла <tex>\mathrm{for}</tex> выполняется неравенство <tex> \rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex>.|proof=Воспользуемся индукцией по <tex>k</tex>: '''База индукции''' :При <tex>k = 0</tex> выполнено: <tex>\rho(s, u) \leqslant +\infty \leqslant +\infty </tex> '''Индукционный переход''':Сначала докажем, что <tex> \rho(s, u) \leqslant d'[u]</tex>.:Пусть после <tex>k - 1 </tex> итерации выполняется <tex>\rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i=0..k-1} d[i][u]</tex> для всех <tex>u</tex>.:Тогда после <tex>k</tex> итераций <tex> \mid rho(s, v) = \min\limits_{u \in V} (\rho(s, u) + \omega(uv)) \leqslant \min\limits_{u \in V} (d'[u] + \omega(uv)) = d'[v]</tex>.  :Переходим ко второму неравенству.:Теперь возможно два случая::#<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[k+1][u]</tex>:#<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[j][u] =\min\limits_{i = 0..j} \; d[i][u]</tex>  :Рассмотрим 1 случай:::<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[k+1][u]</tex><br>::<tex>d'[u] \leqslant d'[v] + \omega(vu) \leqslant d[k][v] + \omega(vu) = d[k+1][u]</tex>:2 случай расписывается аналогично. Таким образом переход выполнен и <tex>\rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex> выполняется.}} ==Реализация алгоритма и ее корректность== '''bool''' fordBellman(s)''':''' '''for''' <tex>v \in V</tex> d[v] = <tex>\mathcal {1}</tex> d[s] = 0 '''for''' i = 0 '''to''' <tex> |V| - 1 </tex> '''for''' <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> <font color="green">// <tex>\omega(u, v)</tex> {{---}} вес ребра uv</font> d[v] = d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> '''for''' <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' d[Gv] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> '''return''' ''false'' '''return''' ''true''  В этом алгоритме используется релаксация, в результате которой <tex>d[v]</tex> уменьшается до тех пор, пока не станет равным <tex>\delta(s, v)</tex>.<tex>d[v] </tex> {{---}} оценка веса кратчайшего пути из вершины <tex>s</tex> в каждую вершину <tex>v \mid in V</tex>.<br><tex>\delta(s, v)</tex> {{---}} фактический вес кратчайшего пути из <tex>s</tex> в вершину <tex>v</tex>.  {{Лемма|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> {{---}} взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> {{---}} стартовая вершина. Тогда после завершения <tex> |V| - 1 </tex> итераций цикла для всех вершин, достижимых из <tex>s </tex>, выполняется равенство <tex> d[v] = \delta (s, v) </tex>.|proof=Рассмотрим произвольную вершину <tex> v </tex> , достижимую из <tex> s </tex>, .Пусть <tex> p = {\langle v_0,..., v_{k}} \rangle </tex>, где <tex> v_0 = s </tex>, <tex> v_{k} = v </tex> — {{---}} кратчайший ациклический путь из <tex> s </tex> в <tex> v </tex>. Путь <tex> p </tex> содержит не более <tex> \mid |V[G] \mid | - 1 </tex> ребер. На каждой из Поэтому <tex> k \mid leqslant |V[G] \mid | - 1 </tex>. Докажем следующее утверждение: :После <tex>n : (n \leqslant k)</tex> итераций первого цикла релаксируются алгоритма, <tex> d[v_n] = \mid Edelta(s, v_n) </tex>Воспользуемся индукцией по <tex>n</tex>: '''База индукции''':Перед первой итерацией утверждение очевидно выполнено: <tex>d[v_0] = d[s] = \delta(s, s) = 0</tex>'''Индукционный переход''':Пусть после <tex>n : (n < k)</tex> итераций, верно что <tex>d[Gv_n] = \mid delta(s, v_n)</tex> ребер. Среди реберТак как <tex>(v_n, v_{n + 1})</tex> принадлежит кратчайшему пути от <tex>s</tex> до <tex>v</tex>, то <tex>\delta(s, v_{n+1}) = \delta(s, v_n) + \omega(v_n, прорелаксированных во v_{n + 1})</tex>. Во время i-й <tex>l + 1</tex> итерации находится релаксируется ребро <tex> (v_n,v_{n+1})</tex>, следовательно по завершению итерации будет выполнено::<tex>d[v_{n+1}] \leqslant d[v_n] + \omega(v_n, v_{n+1}) = \delta(s, v_n) + \omega(v_n, v_{n+1}) = \delta(s, v_{n+1})</tex>.:Ясно, что <tex>d[v_{n+1}] \geqslant \delta(s, v_{n+1}) </tex>, поэтому верно что после <tex>l + 1</tex> итерации <tex>d[v_{i-n+1}] = \delta(s, v_{in + 1}) </tex>. Поэтому :Индукционный переход доказан. Итак, выполнены равенства <tex>d[v] = d[v_{k}] = \delta (s, v_{k}) = \delta (s, v))</tex>.<br>

|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> {{---}} взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — {{---}} стартовая вершина. Если граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> true </tex> и для всех <tex> v \in V[G] \ d[v] = \delta (s, v)</tex>. Если граф <tex> G </tex> содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> false </tex>.|proof=Пусть граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>.  Тогда если вершина <tex> v </tex> достижима из <tex> s </tex>, то по лемме <tex> d[v] = \delta (s, v)</tex>. Если вершина <tex> v </tex> не достижима из <tex> s </tex>, то <tex> d[v] = \delta (s, v) = \mathcal {1}</tex> из несуществования пути.  Теперь докажем , что алгоритм вернет значение <tex> true </tex>.  После выполнения алгоритма верно, что для всех <tex> (u, v) \in E[G], \ d[v] = \delta (s, v) \leqslant \delta (s, u) + \omega (u,v) = d[u] + \omega (u,v)</tex>, значит ни одна из проверок не вернет значения <tex> false </tex>. Пусть граф <tex> G </tex> содержит отрицательный цикл <tex> c = {v_0,...,v_{k}} </tex>, где <tex> v_0 = v_{k} </tex>, достижимый из вершины <tex> s </tex>. Тогда <tex>\sum_sum\limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} < 0 </tex>.  Предположим, что алгоритм возвращает <tex> true </tex>, тогда для <tex> i = 1,...,k </tex> выполняется <tex> d[v_{i}] \leqslant d[v_{i-1}] + \omega (v_{i-1}, v_{i}) </tex>.  Просуммируем эти неравенства по всему циклу: <tex>\sum_sum\limits_{i=1}^{k} {d[v_{i}]} \leqslant \sum_sum\limits_{i=1}^{k} {d[v_{i-1}]} + \sum_sum\limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} </tex>.  Из того, что <tex> v_0 = v_{k} </tex> следует, что <tex> \sum\limits^{k}_{i=1} {d[v_{i}]} = \sum_sum \limits_{i=1}^{k} {d[v_{i - 1}]} </tex>.  Получили, что <tex> \sum_sum \limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} >= \geqslant 0 </tex>, что противоречит отрицательности цикла <tex> c </tex>.

Инициализация занимает <tex> \Theta (V) </tex> времени, каждый из <tex> \mid |V[G] \mid | - 1 </tex> проходов требует <tex> \Theta (E) </tex> времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает <tex>O(E)</tex> времени. Итого Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за <tex>O(V E)</tex> времени. ==Нахождение отрицательного цикла==Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.  Если после <tex>|V| - 1</tex> итерации найдется вершина <tex> v </tex>, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно <tex>|V| - 1</tex> раз пройти назад по предкам из вершины <tex> v </tex>. Так как наибольшая длина пути в графе из <tex>|V|</tex> вершин равна <tex>|V| - 1</tex>, то полученная вершина <tex> u </tex> будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.  Зная, что вершина <tex> u </tex> лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина <tex> u </tex>. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.  '''int[]''' negativeCycle(s)''':''' '''for''' <tex>v \in V</tex> d[v] = <tex>\mathcal {1}</tex> p[v] = -1 d[s] = 0 '''for''' i = 1 '''to''' <tex>|V| - 1</tex> '''for''' <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> d[v] = d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> p[v] = u '''for''' <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> '''for''' i = 0 '''to''' <tex>|V| - 1</tex> v = p[v] u = v '''while''' u != p[v] ans.add(v) <font color="green">// добавим вершину к ответу</font> v = p[v] reverse(ans) '''break''' '''return''' ans == Источники информации ==* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — ISBN 978-5-8459-0857-5.* [http://e-maxx.ru/algo/ford_bellman MAXimal :: algo :: Алгоритм Форда-Беллмана] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Кратчайшие пути в графах]]