Изменения

<tex dpi ="200">O \mid p_{ij} =Описание задачи1 \mid \sum U_i</tex>{{Задача|definition==Дано <tex>m</tex> одинаковых станков, которые работают параллельно и <tex>n</tex> работ, котороые необходимо выполнитьв произвольном порядке на всех станках. Время выполнения каждой работы на любом станке одинаково и равно одному. Для каждой работы известно время, до которого её необходимо выполнить. Необходимо успеть выполнить как можно больше работ. }}==Алгоритм=====Описание алгоритма==={{Определение|definition=Обозначим за '''тайм-слот''' <tex>t</tex> множество из не более, чем <tex>m</tex> различных чисел {{---}} номера работ, которые мы хотим выполнить в момент времени <tex>t</tex>.}} Введем тайм-слот для каждого момента времени от <tex>0</tex> до <tex>d_n</tex>.Каждую работу будем пытаться сделать как можно позже. Будем рассматривать работы в порядке невозрастания дедлайнов. <tex>i</tex>-ю работу попытаемся добавить в тайм-слоты с номерами от <tex>d_i - m + 1</tex> по <tex>d_i</tex>. После добавления некоторые тайм-слоты могли переполниться (тайм-слот переполнился, если в нём уже находилось<tex>m</tex> работ, и в него добавили <tex>m+1</tex>-ю). Для переполнившегося тайм-слота найдём найдем самый правый левее него тайм-слот, который ещё не переполнился и перекинем работу, которой там еще нет, в него. Так как в нем меньше элементов, то по принципу Дирихле, это можно сделать.

==Описание алгоритма==Сведем задачу построения распинания по построенным тайм-слотам к задаче о покрытии двудольного [[Основные_определения_теории_графов|графа]] минимальным Отсортируем работы в порядке невозрастания дедлайновколичеством [[Паросочетания:_основные_определения,_теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях|паросочетаний]].

Определим <tex>k</tex> как максимальное число работ, которые можно успеть выполнить. Построим двудольный граф. В левой доле вершинам будут соответствовать работы, в правой {{Утверждение---}} времена. Соответственно, в левой доле будет <tex>n</tex> вершин, в правой {{---}} <tex>d_{max}</tex>. Ребро между работой <tex>i</tex> и временем <tex>t</tex> будет, если работа <tex>i</tex> есть в тайм-слоте <tex>t</tex>. Рассмотрим какое-то паросочетание <tex>M</tex> в этом графе. Оно соответствует корректному расписанию работ на одной машине: ни одна работа не выполняется два раза и ни в один момент времени не выполняется более одной работы. Тогда, если мы сможем построить множество мощности <tex>m</tex> такое, что каждое ребро находится хотя бы в одном из паросочетаний, то оно будет соответствовать тому, что каждая работа обработана на каждом станке, а значит, составлено корректное расписание для этих <tex>k</tex> работ. Достроим граф до регулярного степени <tex>m</tex>. Достраивать будем следующим образом. Каждая вершина в левой доле имеет степень <tex>m</tex>, так как каждая работа представлена в <tex>m</tex> тайм-слотах. В правой доле степень каждой вершины не больше <tex>m</tex>, так как в тайм-слоте не может быть больше, чем <tex>m</tex> работ. Значит, в левой доле не больше вершин, чем в правой.Добавим в левую долю фиктивных вершин, чтобы количества вершин в левой и правой долях сравнялись. После чего просто будем добавлять ребра между вершинами, степень которых еще меньше <tex>m</tex>. Для покрытия этого графа паросочетаниями воспользуемся тем фактом, что регулярный двудольный граф степени <tex>d</tex> можно покрыть <tex>d</tex> паросочетаниями.  При помощи построения паросочетаний было построено расписание для тех <tex>k</tex> работ, которые можно успеть сделать. Так как остальные работы уже нельзя успеть, расписание для них можно составить произвольное. Например, выполнять их по очереди после выполнения первых <tex>k</tex> работ. <!--{{Теорема

тоже отсортированы в порядке неубывания дедлайна. Тогда <tex>d_{i1} \le leqslant d_1, d_{i2}\le leqslant d_2, \ldots, d_{ik}\le leqslant d_{k}</tex>.

}}--> ===Существование решения==={{Теорема|statement=Следуя этому алгоритму, расписания не существует тогда и только тогда, когдапереполнился нулевой тайм-слот.|proof=<tex>\Rightarrow</tex> Расписания не существует, а значит, никакой алгоритм его не найдет. <tex>\Leftarrow</tex> Введем понятие ''фронта'' расписания. ''Фронтом'' назовем вектор размеров тайм-слотов. Заметим, что от того, в каком порядке происходят перебрасывания из переполнившихся тайм-слотов, итоговый фронт не зависит. Поэтому, если мы сначала положим все работы в тайм-слоты, игнорируя ограничение на их размер, а потом в каком-то порядке перекинем, итоговый фронт окажется тем же. В случае, если при построении тайм-слотов игнорировалось ограничение на их размер, ни одну единицу работы нельзя назначить позже.

{{Определение|definition=Обозначим за ''Будем также рассматривать тайм-слоты без номеров работ: в каждом тайм-слот t'' множество из слоте просто лежит сколько-то единиц работ. От этого итоговый фронт также не болееизменится. Заметим, что если нельзя составить корректную в плане наполненности конфигурацию тайм-слотов при данном ослаблении, чем то нельзя это сделать и в случае существования номера у каждой единицы работы. Будем рассматривать тайм-слоты по убыванию времени с <tex>md_1</tex> различных чисел {{---}} номера работ, которые мы хотим выполнить в момент времени до <tex>t0</tex>.}}В каждый момент времени будем хранить сколько работ ''необходимо'' перекинуть на более ранние тайм-слоты. Изначально это число равно нулю.

Введем Рассмотрим очередной тайм-слот для каждого момента времени от . Пусть в нем занято <tex>0h</tex> до ячеек из <tex>d_nm</tex>.Каждую работу будем пытаться сделать как можно позже. Будет рассматривать работы в порядке невозрастания дедлайнов. , а также есть еще <tex>ia</tex>-ю работу попытаемся добавить в тайм-слоты с нераспределяемых позже единиц работы. Здесь возможны два случая:* <tex>d_i - h + a > m + 1</tex> по . В этом случае, так как более <tex>d_im</tex>. После добавления некоторые тайм-слоты могли переполниться (тайм-слот переполнилсяединиц работы сейчас выполнить нельзя, а также ничего нельзя назначить позже, то оказывается, если в нём уже находилосьчто невыполняемых сейчас или позже работ стало <tex>h + a - m</tex> работ, и в него добавили .* Если <tex>h + a \leqslant m+1</tex>-ю). Для переполнившегося тайм-слота найдём найдем самый правый левее негоЗдесь можно назначить все нераспределяемые позже работы на это время, который ещё не переполнился и перекинем работу, которой там еще нет, в него. Так как в нем меньше элементов, то, по принципу Дирихле, это можно сделатьсбросить их счетчик.

{{Утверждение|statement=Следуя этому алгоритмуТак как и этот, первый тайм-слот переполнится тогдаи только тогдаи изучаемый алгоритм получают в итоге одинаковый фронт, когда переполнилнилсянулевой тайм-слота в этом мы вышли из нулевого времени, а невыполненные единицы работы остались, то так как распределить их никак невозможно, то не существует расписания, в котором бы выполнились все работы.|proof=?

Опираясь на это утверждение, можно найти максимальное количество работ, которое можно выполнить===Оценка сложности алгоритма===Рассмотрим добавление очередной работы в тайм-слоты. Обозначим его За <tex>O(t)</tex> найдём переполнившийся тайм-слот и за <tex>kO(m)</tex> перекинем из него элемент. Так как <tex>t=O(nm)</tex>, итоговая сложность этой части {{---}} <tex>O(n^2m)</tex>.

Сведем задачу построения распинания по построенным таймДостроение графа до регулярного делается за <tex>O(E)</tex>, где <tex>E</tex> {{---}} количество ребер в нем. Количество ребер в регулярном двудольном графе <tex>E = Vd</tex>, где <tex>V</tex> {{---}} количество вершин в одной из долей, а <tex>d</tex> {{---}} степень. Количество вершин в правой доле {{---}} <tex>O(t) = O(nm)</tex>. Значит граф будет построен за <tex>O(nm^2)</tex>, так как степень каждой вершины {{---слотам к задаче о покрытии двудольного графа минимальным количеством паросочетаний}} <tex>m</tex>.

Построим двудольный Сложность последней фазы зависит от того, каким алгоритмом графразбивается на паросочетания. В левой доле вершинам будут соответствоввать работыИспользовав, в правой {{---}} времена. Соответственнонапример, алгоритм Куна, в левой доле будет можно добиться сложности <tex>O(m \cdot M) = O(m \cdot n^3m^3)</tex> вершин, в правой . Итоговая сложность алгоритма {{---}} <tex>d_{max}</tex>. Ребро между работой <tex>i</tex> и временем <tex>t</tex> будет, если работа <tex>i</tex> есть в тайм-слоте <tex>tO(n^3m^4)</tex>.

Рассмотрим какое-то паросочетание ==См. также==* [[Opij1di|<tex>MO \mid p_{ij} = 1, d_i \mid - </tex> в этом графе. Оно соответствует корректному расписанию работ на одной машине: ни одна работа не выполняется два раза, и ни в один момент времени не выполняется более одной работы.]]

Тогда==Источники информации==* Peter Brucker «Scheduling Algorithms», если мы сможем построить множество мощности <tex>m</tex> такоеfifth edition, что каждое ребро находится хотя бы в одном из паросочетаний, то оно будет соответствовать тому, что каждая работа обработана на каждом станке, а значит, составлено корректное расписание для этих <tex>k</tex> работSpringer {{---}} с. Достроим граф до регулярного степени <tex>m</tex>. Достраивать будем следующим образом. Каждая вершина в левой доле имеет степень <tex>m</tex>, так как каждая работа представлена в <tex>m</tex> тайм179 ISBN 978-3-540-слотах. В правой доле степень каждой вершины не больше <tex>m</tex>, так как в тайм69515-слоте не может быть больше, чем <tex>m</tex> работ. Значит, в левой доле не больше вершин, чем в правой.Добавим в левую долю фиктивных вершин, чтобы количества вершин в левой и правой долях сравнялись. После чего просто будем добавлять ребра между вершинами, степень которых еще меньше <tex>m</tex>.8

Для покрытия этого графа паросочетаниями воспользуемся тем фактом, что регулярный двудольный граф степени <tex>d</tex> можно покрыть <tex>d</tex> паросочетаниями. Значит, этот граф можно покрывать паросочетаниями жадно[[Категория: найти максимальное паросочетание, удалить его Алгоритмы и свести задачу к меньшей. После удаления граф останется структуры данных]]регулярым, поэтому так действовать можно.[[Категория: Теория расписаний]]