Изменения

Пусть <tex>A:X->\to X</tex>;и Пусть <texdpi="130">p(\lambda) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\lambda^s ->\to p(A) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s A^2s</tex>

<tex>P(A)</tex> - п.п. <tex>X \times X = \{all \forall B:X->\to X\}</tex>

1) <tex>(p(A) \cdot q(A))r(A) = p(A)\cdot(q(A)*\cdot r(A))</tex>

<tex>P(A</tex>) - подалгебра <tex>X \times X</tex> (коммунитативныекоммутативные)

<tex>S_A:P->\to P(A)</tex>

<tex>p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\cdot\lambda^s -> \to p(A)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s \cdot A^s</tex>

Тогда <tex>Ker \ker p(A)=Ker \ker p_1(A) + Ker \dotplus \ker p_2(A)</tex>

1) Пусть <tex>x=x_1+x_2</tex>, где <tex>x_1 \in Ker \ker p_1(A)</tex>, <tex>x_2 \in Ker \ker p_2(A) => \Rightarrow </tex>

p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 =>\Rightarrow </tex> <tex>x \in Ker \ker p(A)</tex>

Итого: <tex>Ker \ker p_1(A)+Ker \ker p_2(A) inini Ker \subset \ker p(A)</tex>

2) Надо: <tex>Ker \ker p(A) inini Ker \subset \ker p_1(A) + Ker \ker p_2(A)</tex>

<tex>\forall x \in Ker \ker p(A), x_1 \in Ker \ker p_1(A), x_2 \in Ker \ker p_2(A)</tex>

Пусть <tex>x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in Ker \ker p(A)</tex>

I. Итого: <tex>Ker \ker p(A) = Ker \ker p_1(A)+Ker \ker p_2(A)</tex>

II. доказательство, что прямая сумма (<tex>+ -> +..\dotplus</tex>)

Надо: <tex>Ker \ker p_1(A) per Ker \cap \ker p_2(A) = \{0_x\}</tex> <br>От противного: пусть <tex><- U:\exists z:Ker \in \ker p_1(A) per Ker \cap \ker p_2(A)</tex> <br>Рассмотрим <tex>z=Iz=p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0</tex>, ч.т.д.

Следствие. {{Теорема|statement=Пусть <tex>p(\lambda)=\PI_displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex>, где <tex>p_i(\lambda) </tex> - взаимнопростые делители <tex>p(\lambda)</tex>. Тогда <tex>Ker \ker p(A)+..= \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^k Ker \ker p_i(A)</tex>}}

N.B: <tex>p(A)=O <=> \Leftrightarrow \forall x \in X:p(A)x = Ox <=> \Leftrightarrow p(A)x = \{Ox\} <=> \Leftrightarrow Im p(A) =\{Ox\} <=> Ker \Leftrightarrow \ker p(A) =X</tex> Лемма 1.Рассмотрим <tex>X \times X</tex> и <tex>\{I,A,A^2,...\}</tex>. <tex>dim X=n</tex> <tex>dim X \times X = n^2</tex>

Рассмотрим <texdpi = "130">p(\{I,A,A^2,...\}</tex> - набор ЛЗ <tex>lambda)=></tex> <tex>\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2n2} \alpha_s \cdot A^2 = O\lambda_s</tex>- аннулирующий полином.}}

Рассмотрим <tex>p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda^s</tex> - аннулирующий полином.  Теорема.|statement=Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма <tex>A</tex> образует идеал А в алгебре скалярных полиномов <tex>P</tex>.|proof=<tex>I_A  Рассмотрим p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P =</tex> p(\lambda)q(\lambda) \in (I_A) (?)

Минимальный полином построенного идеала <tex>J_A </tex> называется минимальным полиномом A(минимальным аннулирующим полиномом A)

Рассмотрим <tex>x_j \in L_{\lambda_j} => \Rightarrow \widehat{X_A}(A)x_j != \ne O </tex>

|statement = Для <tex>p(A)=q(A)</tex>, Н и Д, чтобы <tex>(p(\lambda)-q(\lambda))::</tex> делился на <tex>p_A(\lambda)</tex>

<tex>p(A)=q(A) <=> \Leftrightarrow p(A)-q(A) = O <=> \Leftrightarrow (p(A)-q(A))x=Ox </tex>(для <tex>\forall x \in X</tex>)

|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_ap_i(\lambda)</tex> (<tex>p_i(\lambda)</tex> - взаимнопростые взаимно простые делители)Тогда <tex>X = ..\dotplus\sum_{i=1}^n Ker \ker p_i(A)</tex>потому, что <tex>Ker \ker p_A(A) = X</tex>

|statement= Пусть <tex>p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda) </tex> (взаимнопростые)Тогда Ker <tex>\ker p_1(A) = Im p_2(A)</tex>

<tex>p_A(A)X = \{Ox\}</tex> <br><tex>p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}</tex> <br><tex>p_2(A)X = Im p_2(A)=> \Rightarrow \forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox =</tex> <br><tex> \Rightarrow Im p_2(\mathcal{A}) inini Ker \subset \ker p_1(\mathcal{A})</tex> <br>Надо доказать: <tex>dim Im p_2p_1(\mathcal{A}) = dim Ker \ker p_1(\mathcal{A}) (?)</tex> <br><tex>X=Ker \ker p_A(\mathcal{A})=Ker \ker p_1(\mathcal{A}) .+ Ker \dotplus \ker p_2(\mathcal{A})</tex> 1) <tex>n = dim X = dim Ker \ker p_1(\mathcal{A}) + dim Ker \ker p_2(\mathcal{A}) </tex> (1) 2) <tex>n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim Ker \ker p_2(\mathcal{A}) </tex> (2)