Минимальный полином и инвариантные подпространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 34: Строка 34:
 
Следует из теоремы о разложении <tex>Ker \; p(\mathcal{A})</tex> в прямую сумму <tex>Ker</tex>  взаимнопростых делителей <tex>p(\mathcal{A})</tex> ([[Алгебра операторных полиномов]]), с учетом того, что <tex>Ker \; p_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = X</tex>  и <tex>Ker \; p_i(\mathcal{A})</tex> - инвариантное п.п.(так как сумма прямая ,то '''у'''.и.п.п.)
 
Следует из теоремы о разложении <tex>Ker \; p(\mathcal{A})</tex> в прямую сумму <tex>Ker</tex>  взаимнопростых делителей <tex>p(\mathcal{A})</tex> ([[Алгебра операторных полиномов]]), с учетом того, что <tex>Ker \; p_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = X</tex>  и <tex>Ker \; p_i(\mathcal{A})</tex> - инвариантное п.п.(так как сумма прямая ,то '''у'''.и.п.п.)
 
}}
 
}}
 +
 +
{{Лемма
 +
|id=
 +
|author=
 +
|about=
 +
|statement=Пусть <tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i = 1}^{k} p_i(\lambda)</tex>, <tex>p_i' = p_{\mathcal{A}}/ p_i</tex>, <tex>q_i</tex> - такие , что <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^{k}p_i'(\lambda)q_i(\lambda) = 1 </tex>. Тогда <tex>\mathcal{P}_i = p_i(\mathcal{A})q_i(\mathcal{A})</tex> - ультрапроектор на <tex>L_i</tex>.
 +
|proof=
 +
 +
}}
 +
 +
{{Лемма
 +
|id=
 +
|author=
 +
|about=
 +
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A}_i = \mathcal{A} |_{L_i}</tex> - компонента <tex>\mathcal{A}</tex>  в уипп <tex>L_i</tex>. Тогда <tex>\mathcal{A} = \displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i\mathcal{P}_i</tex>, т.е. <tex>\mathcal{A} = \dotplus \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i</tex>.
 +
|proof=
 +
}}
 +
 +
{{Лемма
 +
|id=
 +
|author=
 +
|about=
 +
|statement=<tex>p_i(\lambda)</tex> - минимальный полином компоненты <tex>\mathcal{A}_i</tex>.
 +
|proof=хз((
 +
}}
 +
 +
 +
{{Теорема
 +
|id=
 +
|author=
 +
|about=Спектральная теорема для оператора общего вида.
 +
|statement=Пусть <tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^{k}(\lambda -\lambda_i)^{m_i}</tex> (<tex>p_i(\lambda) = (\lambda -\lambda_i)^{m_i}</tex>, <tex>\lambda_i \ne \lambda_j</tex>). Пусть <tex>L_i = Ker \; p_i(\mathcal{A}) = Ker \; (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{J})^{m_i}</tex>. Тогда
 +
 +
1) <tex>L_i = Ker \; (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{J})^{m_i}</tex> - уипп <tex>\mathcal{A}</tex>
 +
 +
2) <tex>X = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^{k}L_i</tex>
 +
 +
3) <tex>\mathcal{A} = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i = \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i\mathcal{P}_i</tex>
 +
 +
4) <tex>p_i(\lambda) = (\lambda - \lambda_i)^{m_i}</tex> - минимальный полином соответствующей компоненты <tex>\mathcal{A}_i</tex>
 +
|proof=
 +
}}
 +
 +
{{Nota Bene
 +
|notabene=<tex>m_i</tex> - ранг уипп <tex>L_i</tex>
 +
}}
 +
 +
{{Nota Bene
 +
|notabene=Пусть <tex>n_i = \dim Ker(\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{J})^{m_i} = \dim L_i</tex>
 +
 +
рассмотрим <tex>\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}</tex> - базис уипп <tex>L_i</tex>, <tex>i = \overline {1,k}</tex>
 +
 +
рассмотрим {набор из всех таких <tex>\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}</tex>} - базис всего X.
 +
 +
Тогда <tex>A</tex>  в этом базисе равна <tex>\begin{pmatrix}
 +
A_1 & \cdots & \; \\
 +
\vdots & \ddots & \vdots \\
 +
\; & \cdots & A_k
 +
\end{pmatrix}
 +
</tex>, где <tex>A_i</tex> - компонента в своем базисе <tex>\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}</tex>.
 +
}}
 +
 +
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 19:13, 4 сентября 2022

Лемма:
Пусть [math]\mathcal{A}: X\to X[/math], [math]p(\mathcal{A})[/math]- полином от [math]\mathcal{A}[/math]. Тогда [math]Ker \;p(\mathcal{A})[/math] - инвариантное п.п. [math]\mathcal{A}[/math] (возможно и тривиальное).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x \in Ker \;p(\mathcal{A})[/math], т.е. [math]p(\mathcal{A})x = 0[/math].

[math]p(\mathcal{A})(\mathcal{A}x) = \mathcal{A}(p(\mathcal{A})x) = \mathcal{A}(0) = 0[/math]. Таким образом [math]\mathcal{A}(Ker \; p(\mathcal{A})) \subset Ker \; p(\mathcal{A})[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda)[/math] - минимальный полином [math]\mathcal{A}[/math], [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle\prod_{i=1}^k p_i(\lambda)[/math], где [math]p_i(\lambda)[/math] - взаимно простые делители мин. полинома. [math]\deg \; p_i(\lambda)\gt 0[/math] (где [math]i = \overline{1,k}[/math]). Тогда [math]\ker\;p_i(\mathcal{A})[/math] - нетривиальные инвариантные п.п. [math]\mathcal{A}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) Пусть [math]\ker p_i(\mathcal{A}) = X \Rightarrow p_i(\lambda)[/math] - аннулирующий полином. Но [math]\deg p_i(\lambda)\lt \deg \; p_{\mathcal{A}}(\lambda)[/math] !!!. Значит, [math]Ker \; p_i(\lambda) \ne X[/math].

2) Пусть [math]Ker \; p_i(\mathcal{A}) = \{0_x\}[/math].

[math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = p_i(\lambda)p_i'(\lambda)[/math], где [math]p_i'(\lambda) = \displaystyle \prod_{\underset {s \ne i}{s = 1}}^k p_i(\lambda)[/math].

[math]Ker \; p_{\mathcal{A} } = X = Ker\; \underbrace{p_i(\mathcal{A})}_{\{0_x\}} \dotplus Ker\; p_i'(\mathcal{A})[/math].

[math]\dim X = n = 0 + n \Rightarrow \dim Ker\; p_i'(\mathcal{A}) = n \Rightarrow Ker \; p_i'(\mathcal{A}) = X[/math], далее см. 1).
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Пусть [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i = 1}^{k} p_i(\lambda)[/math], [math]p_i(\lambda)[/math] - взаимно простые делители. [math]\deg\; p_i(\lambda) \gt 0 [/math], тогда [math]X = \dotplus \displaystyle \sum_{i = 1}^{k} Ker \; p_i(\mathcal{A})[/math]. Здесь [math]L_i = Ker \; p_i(\mathcal{A})[/math] - у.и.п.п. [math]\mathcal{A}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Следует из теоремы о разложении [math]Ker \; p(\mathcal{A})[/math] в прямую сумму [math]Ker[/math] взаимнопростых делителей [math]p(\mathcal{A})[/math] (Алгебра операторных полиномов), с учетом того, что [math]Ker \; p_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = X[/math] и [math]Ker \; p_i(\mathcal{A})[/math] - инвариантное п.п.(так как сумма прямая ,то у.и.п.п.)
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Пусть [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i = 1}^{k} p_i(\lambda)[/math], [math]p_i' = p_{\mathcal{A}}/ p_i[/math], [math]q_i[/math] - такие , что [math]\displaystyle \sum_{i=1}^{k}p_i'(\lambda)q_i(\lambda) = 1 [/math]. Тогда [math]\mathcal{P}_i = p_i(\mathcal{A})q_i(\mathcal{A})[/math] - ультрапроектор на [math]L_i[/math].
Лемма:
Пусть [math]\mathcal{A}_i = \mathcal{A} |_{L_i}[/math] - компонента [math]\mathcal{A}[/math] в уипп [math]L_i[/math]. Тогда [math]\mathcal{A} = \displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i\mathcal{P}_i[/math], т.е. [math]\mathcal{A} = \dotplus \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i[/math].
Лемма:
[math]p_i(\lambda)[/math] - минимальный полином компоненты [math]\mathcal{A}_i[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
хз((
[math]\triangleleft[/math]


Теорема (Спектральная теорема для оператора общего вида.):
Пусть [math]p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^{k}(\lambda -\lambda_i)^{m_i}[/math] ([math]p_i(\lambda) = (\lambda -\lambda_i)^{m_i}[/math], [math]\lambda_i \ne \lambda_j[/math]). Пусть [math]L_i = Ker \; p_i(\mathcal{A}) = Ker \; (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{J})^{m_i}[/math]. Тогда

1) [math]L_i = Ker \; (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{J})^{m_i}[/math] - уипп [math]\mathcal{A}[/math]

2) [math]X = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^{k}L_i[/math]

3) [math]\mathcal{A} = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i = \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i\mathcal{P}_i[/math]

4) [math]p_i(\lambda) = (\lambda - \lambda_i)^{m_i}[/math] - минимальный полином соответствующей компоненты [math]\mathcal{A}_i[/math]


N.B.:
[math]m_i[/math] - ранг уипп [math]L_i[/math]


N.B.:
Пусть [math]n_i = \dim Ker(\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{J})^{m_i} = \dim L_i[/math]

рассмотрим [math]\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}[/math] - базис уипп [math]L_i[/math], [math]i = \overline {1,k}[/math]

рассмотрим {набор из всех таких [math]\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}[/math]} - базис всего X.

Тогда [math]A[/math] в этом базисе равна [math]\begin{pmatrix} A_1 & \cdots & \; \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \; & \cdots & A_k \end{pmatrix} [/math], где [math]A_i[/math] - компонента в своем базисе [math]\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}[/math].