1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
Следует из теоремы о разложении <tex>Ker \; p(\mathcal{A})</tex> в прямую сумму <tex>Ker</tex> взаимнопростых делителей <tex>p(\mathcal{A})</tex> ([[Алгебра операторных полиномов]]), с учетом того, что <tex>Ker \; p_{\mathcal{A}}(\mathcal{A}) = X</tex> и <tex>Ker \; p_i(\mathcal{A})</tex> - инвариантное п.п.(так как сумма прямая ,то '''у'''.и.п.п.)
}}
{{Лемма
|id=
|author=
|about=
|statement=Пусть <tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i = 1}^{k} p_i(\lambda)</tex>, <tex>p_i' = p_{\mathcal{A}}/ p_i</tex>, <tex>q_i</tex> - такие , что <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^{k}p_i'(\lambda)q_i(\lambda) = 1 </tex>. Тогда <tex>\mathcal{P}_i = p_i(\mathcal{A})q_i(\mathcal{A})</tex> - ультрапроектор на <tex>L_i</tex>.
|proof=
}}
{{Лемма
|id=
|author=
|about=
|statement= Пусть <tex>\mathcal{A}_i = \mathcal{A} |_{L_i}</tex> - компонента <tex>\mathcal{A}</tex> в уипп <tex>L_i</tex>. Тогда <tex>\mathcal{A} = \displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i\mathcal{P}_i</tex>, т.е. <tex>\mathcal{A} = \dotplus \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i</tex>.
|proof=
}}
{{Лемма
|id=
|author=
|about=
|statement=<tex>p_i(\lambda)</tex> - минимальный полином компоненты <tex>\mathcal{A}_i</tex>.
|proof=хз((
}}
{{Теорема
|id=
|author=
|about=Спектральная теорема для оператора общего вида.
|statement=Пусть <tex>p_{\mathcal{A}}(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^{k}(\lambda -\lambda_i)^{m_i}</tex> (<tex>p_i(\lambda) = (\lambda -\lambda_i)^{m_i}</tex>, <tex>\lambda_i \ne \lambda_j</tex>). Пусть <tex>L_i = Ker \; p_i(\mathcal{A}) = Ker \; (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{J})^{m_i}</tex>. Тогда
1) <tex>L_i = Ker \; (\mathcal{A} - \lambda_i\mathcal{J})^{m_i}</tex> - уипп <tex>\mathcal{A}</tex>
2) <tex>X = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^{k}L_i</tex>
3) <tex>\mathcal{A} = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i = \sum_{i=1}^{k}\mathcal{A}_i\mathcal{P}_i</tex>
4) <tex>p_i(\lambda) = (\lambda - \lambda_i)^{m_i}</tex> - минимальный полином соответствующей компоненты <tex>\mathcal{A}_i</tex>
|proof=
}}
{{Nota Bene
|notabene=<tex>m_i</tex> - ранг уипп <tex>L_i</tex>
}}
{{Nota Bene
|notabene=Пусть <tex>n_i = \dim Ker(\mathcal{A} - \lambda_i \mathcal{J})^{m_i} = \dim L_i</tex>
рассмотрим <tex>\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}</tex> - базис уипп <tex>L_i</tex>, <tex>i = \overline {1,k}</tex>
рассмотрим {набор из всех таких <tex>\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}</tex>} - базис всего X.
Тогда <tex>A</tex> в этом базисе равна <tex>\begin{pmatrix}
A_1 & \cdots & \; \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\; & \cdots & A_k
\end{pmatrix}
</tex>, где <tex>A_i</tex> - компонента в своем базисе <tex>\{ e_{s_i}^{(i)} \}_{s_i=1}^{n_i}</tex>.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
