АВЛ-дерево с O(1) бит в каждом узле

АВЛ-дерево с [math] O(1) [/math] бит в каждом узле

Идея

В обычной реализации АВЛ-дерева в каждом узле мы хранили высоту этого узла. Так как высоты левых и правых поддеревьев в АВЛ-дереве отличаются максимум на [math]1[/math], то мы будем хранить не всю высоту дерева, а некоторое число, которое будет показывать, какое поддерево больше, или равны ли они, назовём фактор баланса. Таким образом в каждом узле будет хранится [math]1[/math] — если высота правого поддерева выше левого, [math]0[/math] — если высоты равны, и [math]-1[/math] — если правое поддерево выше левого.

Операции

Операция добавления
Пусть нам надо добавить ключ [math]t[/math]. Будем спускаться по дереву, как при поиске ключа [math]t[/math]. Если мы стоим в вершине [math]a[/math] и нам надо идти в поддерево, которого нет, то делаем ключ [math]t[/math] листом, а вершину [math]a[/math] его корнем. Пересчитываем баланс данного узла [math]a[/math]. Если он оказался [math]0[/math], то высота поддерева с корнем в этой вершине не изменилась и пересчет балансов останавливается. Дальше начинаем подниматься вверх по дереву, исправляя балансы попутных узлов. Если мы поднялись в вершину [math]i[/math] из левого поддерева, то баланс увеличивается на единицу, если из правого, то уменьшается на единицу. Если мы пришли в вершину и её баланс стал равным [math]1[/math] или [math]-1[/math], то это значит, что высота поддерева изменилась и подъём продолжается. Если баланс вершины [math]a[/math], в которую мы собираемся идти из ее левого поддерева, равен [math]1[/math], то делается поворот для этой вершины [math]a[/math]. Аналогично делаем поворот, если баланс вершины [math]a[/math], в которую мы идем из ее правого поддерева, равен [math]-1[/math]. Если в результате изменения узла, фактор баланса стал равен нулю, то останавливаемся, иначе продолжаем подъём.

Операция удаления
Если вершина — лист, то просто удалим её, иначе найдём ближайшую по значению вершину [math]a[/math], поменяем ее местами с удаляемой вершиной и удалим. От удалённой вершины будем подниматься вверх к корню и пересчитывать фактор баланса вершин. Если мы поднялись в вершину [math]i[/math] из левого поддерева, то фактор баланса уменьшается на единицу, если из правого, то увеличивается на единицу. Если мы пришли в вершину и её баланс стал равным [math]1[/math] или [math]-1[/math], то это значит, что высота поддерева не изменилась и подъём можно остановить. Если баланс вершины стал равным нулю, то высота поддерева уменьшилась и подъём нужно продолжить. Если баланс вершины [math]a[/math], в которую мы собираемся идти из ее левого поддерева, равен [math]-1[/math], то делается поворот для этой вершины [math]a[/math]. Аналогично делаем поворот, если баланс вершины [math]a[/math], в которую мы идем из ее правого поддерева, равен [math]1[/math]. Если в результате изменения узла, фактор баланса стал равен нулю, то подъём продолжается, иначе останавливается.

Балансировка

Опишем операции балансировки, а именно малый левый поворот, большой левый поворот и случаи их возникновения. Балансировка нам нужна для операций добавления и удаления узла. Для исправления факторов баланса, достаточно знать факторы баланса двух(в случае большого поворота — трех) вершин перед поворотом, и исправить значения этих же вершин после поворота. Обозначим фактор баланса вершины [math]i[/math] как [math]balance[i][/math]. Операции поворота делаются на том шаге, когда мы находимся в правом сыне вершины [math]a[/math], если мы производим операцию добавления, и в левом сыне, если мы производим операцию удаления. Вычисления производим заранее, чтобы не допустить значения [math]2[/math] или [math]-2[/math] в вершине [math]a[/math]. На каждой иллюстрации изображен один случай высот поддеревьев. Нетрудно убедиться, что в остальных случаях всё тоже будет корректно.

Тип вращения	Иллюстрация	Факторы балансов до вращения	Факторы балансов после вращения
Малое левое вращение		1 вариант: [math]balance[a] = -1[/math] и [math]balance[b] = -1[/math] 2 вариант: [math]balance[a] = -1[/math] и [math]balance[b] = 0[/math]	1 вариант: [math]balance[a] = 0[/math] и [math]balance[b] = 0[/math] 2 вариант: [math]balance[a] = -1[/math] и [math]balance[b] = 1[/math]
Большое левое вращение		1 вариант: [math]balance[a] = -1[/math] , [math]balance[b] = 1[/math] и [math]balance[c] = 1[/math] 2 вариант: [math]balance[a] = -1[/math], [math]balance[b] = 1[/math] и [math]balance[c] = -1[/math] 3 вариант: [math]balance[a] = -1[/math], [math]balance[b] = 1[/math] и [math]balance[c] = 0[/math]	1 вариант: [math]balance[a] = 0[/math], [math]balance[b] = -1[/math] и [math]balance[c] = 0[/math] 2 вариант: [math]balance[a] = 1[/math], [math]balance[b] = 0[/math] и [math]balance[c] = 0[/math] 3 вариант: [math]balance[a] = 0[/math], [math]balance[b] = 0[/math] и [math]balance[c] = 0[/math]

Примеры

Ниже приведены примеры добавления и удаления вершины с подписанными изменениями факторов баланса каждой вершины.

Добавление

Второй случай: большое вращение