Изменения

Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если ли граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром. Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи|NP-полной]].

Пусть задана булева формула в <math>3SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее неё соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами рёбрами и подпишем их именами соответствующих литералов. Так же соединим ребрами рёбрами пары вершин вида <math>x,\neg x</math>.

Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы один литерал, принимающий значение “истина”. Выберем соответствующую ему вершину в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как ребрами рёбрами соединены только те вершины, которые соответствуют литералам из одной скобки (а мы выбирали только один литерал из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\neg x</math>, соответствующие литералы которых не могут одновременно принимать значение “истина”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующего литерала “истина”. Это можно сделать, так как нет ребер рёбер между вершинами вида <math>x,\neg x</math>. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы один литерал, имеющий значение “истина”, значит вся формула будет принимать значение “истина”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.