1632
правки
Изменения
м
== Количество делителей == {{Определение|definition=Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определяется как число положительных делителей натурального числа '''a''':<center><tex>~\tau(a) = \sum_{d|a} 1</tex></center>}} Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно простыКатегория: Удалить]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <tex>~\tau</tex> мультипликативна:<center><tex>~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)</tex></center> Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''',то в силу мультипликативности <center><tex>~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k})</tex></center> Но положительными делителями числа <tex>p_i^{\alpha_i}</tex> являются <tex>~\alpha_i+1</tex> чисел <tex>1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}</tex>. Значит,<center><tex>~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)</tex></center>
rollbackEdits.php mass rollback
