Изменения

В математическом анализе используется "наивная" теория множеств{{Определение|definition=''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которая является удобным языком описания фактовкоторому не дано строгое математическое определение. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870)Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.}}

{{Определение|definition=Объекты, из которых состоит множество, называют ''элементами'' этого множества. Если <tex>a ∈ </tex> {{---}} элемент множества <tex>A </tex>, то записывают <tex>a \in A</tex> (обьект а «<tex>a</tex> принадлежит множеству А<tex>A</tex>»). Если <tex>a</tex> не является элементом множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \notin A</tex> («<tex>a</tex> не принадлежит <tex>A</tex>»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.}}

Задание Существуют два основных способа задания множеств:перечисление и описание.

1) Перечислением ==== Перечисление ====Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов: , входящих в множество. <tex> A = \{a1a_1, a₂a_2 ..., a_n, ..., a<sub>n\} </subtex>}

2) Заданием определенного свойства обьектов: A = {a: P}=== Описание ====Второй способ применяется, где P - определенное свойство обьекта акогда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

2) Два множества <tex>A ∩ B (Пересечение множеств А </tex> и В: (x ∈ A) ∧ (x ∈ <tex>B));</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.

3) ==== Включение ====* <tex>A ∪ </tex> включено в <tex>B (Обьединение множеств А </tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и Вмножеству <tex>B</tex> : (x ∈ *: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A) ∨ (x ∈ \ \colon \ a\in B));</tex>

4) * <tex>A</tex> включает <tex>B </tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:*: <tex>{\ displaystyle A (Разность множеств: (x ∈ \supseteq B\Leftrightarrow B) ∧ (x ∉ \subseteq A));}</tex>

5* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B) ∅ - пустое множество. \land (A ∪ ∅ = A;\neq B)}</tex>

==== Равенство ====* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:*: <tex>{\displaystyle A ∩ ∅ = ∅;B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>

∀ ==== Общие элементы ====* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов: ∅ ⊂ *: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A\ \colon a\notin B}</tex>

<math>\bigcup_{j \in R} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </math> ...= Специальные множества ==

{{Определение|definition=''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <mathtex> \bigcup_{0 < x < 1} A_x varnothing</mathtex>.}}

{{Определение|definition=''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <mathtex> \bigcap_{\alpha displaystyle \in W} A_mathbb {\alphaU} </mathtex> и так далее.}}

<math>\overline{A} = U </math> \ <math> A</math> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;=== Бинарные операции над множествами ====

Теорема(Де-Морган)* Пересечение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. *:<tex>{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}</tex>

* Объединение <mathtex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>{\displaystyle A\cup B =\overline{x\bigcup A_mid x\alpha} = in A\bigcap lor x\overline{A_in B\alpha}} </mathtex>

* Разность <mathtex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>\overline{\bigcap A_displaystyle A\alpha} setminus B = A\bigcup cap {\overline{A_B}}=\{x\mid x\in A\land x\alphanotin B\}}; </mathtex>

* Симметрическая разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex> {\overline{displaystyle A \bigcup A_bigtriangleup B \alpha} equiv A - B = (A \bigcap cup B) \overline{A_setminus (A \alphacap B) } </tex>

<tex>\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcup \overline{A_\alpha}; </tex>=== Унарные операции над множествами ====

* Дополнение определяется следующим образом:*: <amsmathtex>{\displaystyle {{\overline {A}}\labelequiv A^{e:barwq\complement }=\begin{splitx\mid x\notin A\}}=U\setminus A}</tex>. H_c&== Теорема де Моргана == {{Теорема|about=де Моргана|statement= <tex>\displaystyle {\fracoverline{1\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}= \bigcap\limits_\alpha \overline{2nA_\alpha} \sum^n_\\overline{l\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} =0\bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>|proof=Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (-1частый приём при доказательстве равенства двух множеств)^. Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{lA_\alpha}</tex>. Пусть <tex>x \in \left (n-\overline{l\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}\right )^</tex>. Значит, <tex>\nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{p-2\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \sum_overline{l _1+A_\dots+ l _p=lalpha}\prod^p_Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{i=1A_\alpha} \binomright )</tex>.В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{n_i\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.  Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{l _iA_\alpha}\subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>&Пусть <tex>x \quadin \cdot[left (n-l \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )-(n_i-l _i)]^</tex>. Тогда <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{n_i-l _iA_\alpha}\Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.}} Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства&:<tex>(A \quadcup B) \cdotcap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Bigl[Rightarrow (n-l A \cap B)^2-\sum^p_{jcup C =1}(n_i-l _iA \cup C)^2\Bigr].cap (B \end{split}cup C)</amsmathtex>Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.