1632
правки
Изменения
м
{{Определение==Стационарный режим==Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности|definition=Марковская цепь называется эргодическойсильно связным графом]]. Это означает, если что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние цепи является эргодическим <tex>S_{j}, (состояние цепи Маркова эргодическимi,j = 1,2,\ldots, если оно одновременно возвратно и непериодичноn)</tex> за конечное число шагов.}}
[[Файл:MarkovTriangle.png|thumb|350px|Примеры графов переходов для Для эргодических цепей Маркова: a) цепь не является слабо эргодической при достаточно большом времени функционирования (не существует общего стока для состояний <mathtex>A_2, t \to \, A_3infty</mathtex>); b) слабо эргодическаянаступает '''стационарный режим''', но при котором вероятности <tex>\alpha_i</tex> состояний системы не эргодическая цепь (граф переходов зависят от времени и не является ориентированно связным) c) эргодическая цепь (граф переходов ориентированно связен)зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, то есть: <tex>\alpha_i = const</tex>.]]
Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение Стационарным распределением этой цепи будет <tex>\pi alpha = (0.5,0.5)^{\top}</tex>, такое что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, i=1,2</tex>.
==Литература==Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова"[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition='''Эргодическая''' [[Марковская цепь называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) <tex>\pi = |марковская цепь]] (\pi_1,\pi_2,\ldots англ. ''ergodic Markov chain'')^{\top}</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N---}</tex> и:<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_jмарковская цепь, \quad \forall i=1,2, \ldots</tex>целиком состоящая из одного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].
}}
== Классификация эргодических цепей ==
{{Определение
|definition=
В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы''' (англ. ''cyclic classes''). Количество циклических классов <tex> d </tex> называют '''периодом цепи''' (англ. ''period of Markov chain''), если цепь состоит целиком из одного циклического класса, её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]. С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке, причем каждые <tex>d</tex> шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.
}}
Таким образом, эргодические цепи делятся на [[Регулярная марковская цепь|регулярные]] и '''циклические'''.
== Эргодическая теорема ==
{{Определение
|definition=
'''Эргодическое (стационарное) распределение''' (англ. ''stationary distribution'') {{---}} распределение <tex>\alpha = (\alpha_1 \ldots \alpha_n )</tex>, такое что <tex>\alpha_i > 0</tex> и
<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \alpha_j</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> {{---}} вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).
}}
=== Для регулярных цепей ===
Доказательство теоремы для случая регулярных цепей приведено в конспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | регулярные цепи]].
=== Для циклических цепей ===
{{
Теорема
|about=Эргодическая теорема
|statement=
Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>P^{n}</tex> [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и эта предельная матрица имеет вид <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} положительный вероятностный вектор, <tex>\xi</tex> - вектор-столбец из единиц.
|proof=
В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>, которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex> не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру.
Рассмотрим матрицу <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что <tex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной.
Из [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | эргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (1 - k)P)^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} положительный вероятностный вектор. Таким образом:
: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} (kI + (1 - k)P)^{n}</tex>
: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} \sum\limits_{i = 0}^{n} {n\choose i} k^{n - i} (1 - k)^{i} P^{i} ~~~~~ (1)</tex>
Но последнее равенство в точности означает, что последовательность <tex>P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>A</tex>, причем суммируема при каждом значении <tex>k</tex>.
}}
==== Следствия ====
{{Теорема
|statement=Если <tex>P, A, \alpha</tex> {{---}} объекты из предыдущей теоремы. Тогда справедливы факты:
* Для любого вероятностного вектора <tex>\pi</tex> последовательность <tex>\pi P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>\alpha</tex>
* Вектор <tex>\alpha</tex> является единственным неподвижным вектором матрицы <tex>P</tex>
* <tex>PA = AP = A</tex>
|proof=
Домножим <tex>(1)</tex> на <tex>\pi</tex>. Таким образом, мы получим, что предел последовательности <tex>\pi P^{n}</tex> в смысле Эйлера равен <tex>\pi A = \pi \xi \alpha</tex>. Значит, '''первый факт''' доказан.
Так как вектор <tex>\alpha</tex> был получен из предельной матрицы для <tex>(kI + (1 - k)P)</tex>, являющейся регулярной переходной матрицей, то он будет её единственным неподвижным вероятностным вектором. Но матрица <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> должна иметь те же неподвижные векторы, что и <tex>P</tex>, так как из соотношения
:<tex>\pi (kI + (1 - k)P) = \pi</tex>,
следует, что
:<tex>\pi (1 - k) P = \pi (1 - k)</tex>
и поскольку <tex>k \ne 1</tex>, то <tex>\pi P = \pi</tex>. Получается, что '''второй факт''' доказан.
'''Третий факт''' следует из того, что <tex>P \xi = \xi</tex> для любой переходной матрицы и что <tex>\alpha P = \alpha</tex>.
}}
==Пример==
[[File:TempErgo.gifjpg|thumb|250px|Пример эргодической циклической цепи]]Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская Самым простым примером циклической цепи является цепь будет иметь 2 состояния.из двух состояний, с переходной матрицей:Рассмотрим матрицу, следующего вида: <tex>p_P = \begin{ijpmatrix}=0.5, i,j=& 1 \\ 1,2& 0\end{pmatrix}</tex>.
==См. также==
* [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php/Марковская_цепь [Марковская цепь]]* [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php/Регулярная_марковская_цепь [Регулярная марковская цепь]]*[[Примеры использования Марковских цепей]]
==СсылкиИсточники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Википедия {{---}} Эргодическое распределение ]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Википедия {{---}} Дискретное распределение ]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation Wikipedia {{--- Википедия}} Euler summation]*Дж. Кемени, Дж. Снелл {{---}} Конечные цепи Маркова {{---}} изд. "Наука", 1970 г. {{---}} 129 c.
[[Категория: Марковские цепи]]
