Изменения

|definition='''Эргодическая''' [[Марковская цепь называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) <tex>\pi = |марковская цепь]] (\pi_1,\pi_2,\ldots англ. ''ergodic Markov chain'')^{\top}</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N---}</tex> и:<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_jмарковская цепь, \quad \forall i=1,2, \ldots</tex>целиком состоящая из одного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].

{{Определение==Стационарный режим==Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности|definition=Марковская цепь называется эргодическойсильно связным графом]]. Это означает, если что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние цепи является эргодическим <tex>S_{j}, (состояние цепи Маркова эргодическимi,j = 1,2,\ldots, если оно одновременно возвратно и непериодичноn)</tex> за конечное число шагов.}}

[[Файл:MarkovTriangle.png|thumb|350px|Примеры графов переходов для Для эргодических цепей Маркова: a) цепь не является слабо эргодической при достаточно большом времени функционирования (не существует общего стока для состояний <mathtex>A_2, t \to \, A_3infty</mathtex>); b) слабо эргодическаянаступает '''стационарный режим''', но при котором вероятности <tex>\alpha_i</tex> состояний системы не эргодическая цепь (граф переходов зависят от времени и не является ориентированно связным) c) эргодическая цепь (граф переходов ориентированно связен)зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, то есть: <tex>\alpha_i = const</tex>.]]

==Основная Классификация эргодических цепей == {{Определение|definition=В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы''' (англ. ''cyclic classes''). Количество циклических классов <tex> d </tex> называют '''периодом цепи''' (англ. ''period of Markov chain''), если цепь состоит целиком из одного циклического класса, её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]. С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке, причем каждые <tex>d</tex> шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.}} Таким образом, эргодические цепи делятся на [[Регулярная марковская цепь|регулярные]] и '''циклические'''. == Эргодическая теорема об эргодических распределениях=={{Определение|definition='''Эргодическое (стационарное) распределение''' (англ. ''stationary distribution'') {{---}} распределение <tex>\alpha = (\alpha_1 \ldots \alpha_n )</tex>, такое что <tex>\alpha_i > 0</tex> и<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \alpha_j</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> {{---}} вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).}} === Для регулярных цепей ===Доказательство теоремы для случая регулярных цепей приведено в конспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | регулярные цепи]]. === Для циклических цепей ===

|about=Основная Эргодическая теорема об эргодических распределениях

Пусть Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>\{X_n\}_P^{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и матрицей переходных вероятностей эта предельная матрица имеет вид <tex>P A = (p_\xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{ij---}})положительный вероятностный вектор,<tex>\; i,jxi</tex> - вектор-столбец из единиц.|proof=1  В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>,2которые периодически повторяются. Таким образом,\ldotsникакая степень матрицы переходов <tex>P</tex>. Тогда эта цепь не является эргодической тогда положительной матрицей, и только тогдаразличные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться в обычном смысле, когда онадля нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. # Неразложима Рассмотрим матрицу <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>Если , следовательно, она также ''задает эргодическую цепь Маркова такова''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, что её состояния образуют лишь в каждое состояние можно возвратиться за один неразложимый классшаг, а это значит, то она называется неразложимойчто <tex>)d = 1</tex>;. Таким образом, новая цепь является регулярной. Из [[Регулярная марковская цепь# Положительно возвратна Эргодическая теорема для регулярных цепей | эргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (1 - k)P)^{n}</tex>Возвратное состояние стремится к матрице <mathtex>iA = \xi\alpha</mathtex> называется положительным, если где <tex> \mathbbalpha</tex> {{E---}}[T_i] положительный вероятностный вектор. Таким образом:: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} (kI + (1 - k)P)^{n}</tex>: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} \sum\limits_{ni =10}^{n} {n\inftychoose i} n fk^{n - i} (n1 - k)^{i}_P^{iii} < \infty~~~~~ (1)</tex>;# Апериодична Но последнее равенство в точности означает, что последовательность <tex>(P^{n}</tex>Если суммируема по Эйлеру к <tex>d(j) = 1A</tex> (где , причем суммируема при каждом значении <tex>k</tex>d(j) .}} ==== Следствия ==== {{Теорема|statement= Если <tex>P, A, \gcd \left(n \in \mathbbalpha</tex> {N} \mid p_{jj---}^{(n)} объекты из предыдущей теоремы. Тогда справедливы факты: * Для любого вероятностного вектора <tex> 0 \right)pi</tex>), то состояние последовательность <tex>j\pi P^{n}</tex> называется апериодическимсуммируема по Эйлеру к <tex>)\alpha</tex>.Эргодическое распределение * Вектор <tex>\mathbf{\pi}alpha</tex> тогда является единственным решением системы: неподвижным вектором матрицы <tex>P</tex>:* <tex>\sum\limits_{iPA = AP =0}^{\infty} \pi_i A</tex>|proof= Домножим <tex>(1)</tex> на <tex>\pi</tex>. Таким образом,\; \pi_j \ge 0мы получим,что предел последовательности <tex>\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}pi P^{\inftyn} </tex> в смысле Эйлера равен <tex>\pi_ipi A = \, p_{ij},\quad \, jpi \in xi \mathbb{N}alpha</tex>.}}Значит, '''первый факт''' доказан. 

[[File:TempErgo.gifjpg‎|thumb|250px|Пример эргодической циклической цепи]]Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская Самым простым примером циклической цепи является цепь будет иметь 2 состояния.из двух состояний, с переходной матрицей:Рассмотрим матрицу, следующего вида: <tex>p_P = \begin{ijpmatrix}=0.5, i,j=& 1 \\ 1,2& 0\end{pmatrix}</tex>.

Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение Стационарным распределением этой цепи будет <tex>\pi alpha = (0.5,0.5)^{\top}</tex>, такое что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, i=1,2</tex>.

* [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php/Марковская_цепь [Марковская цепь]]* [http://neerc.ifmo.ru/mediawiki/index.php/Регулярная_марковская_цепь [Регулярная марковская цепь]]*[[Примеры использования Марковских цепей]]

==СсылкиИсточники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Википедия {{---}} Эргодическое распределение ]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Википедия {{---}} Дискретное распределение ]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation Wikipedia {{--- Википедия}} Euler summation]*Дж. Кемени, Дж. Снелл {{---}} Конечные цепи Маркова {{---}} изд. "Наука", 1970 г. {{---}} 129 c.